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2013 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.なお, などは既出の を表す.

(1) 媒介変数 t を用いて表される座標平面上の 2 つの曲線を考える.ただし,(b)で log は自然対数である.

(a) 媒介変数 t を用いて

{ x=t- 6t y =1 2(t +6 t) t0

と表される曲線について, t を消去して得られる x y の関係式は

y 2 - x2 =1

である.

(b) 媒介変数 t を用いて

{ x=t- 6t -6 y=log (t+ 6t) -1 t>0

と表される別の曲線を考える. t を消去して得られる x y の関係式は

y= 1 log( x2+ x+ ) -1

である.この曲線上の点で,接線の傾きが 110 となる点の x 座標は または - である. x=- となる正の数 t

t= +

である.

2013 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(2)  θ 0 θ<π を満たす実数として, x についての 2 方程式

x2- 2( sinθ+ cosθ )x + 138 cos 22 θ= 0 (*)

を考える.

(a)  θ= π12 のとき,方程式(*)の解は

x= ± 2

である.

(b) 方程式(*)が 2 つの異なる実数解をもつための必要十分条件は

13sin2 2 θ+8 sin2 θ- >0

が成り立つことであり,したがって

<sin2 θ1 (**)

が成り立つことである. θ 0 θ<π と(**)を満たすとき, cosθ の値の範囲は

1 <cosθ <

である.

2013 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(3) 平面上に ABC と点 O があり,

OA +2 OB+ 3OC =0

を満たすとする.直線 AO と辺 BC の交点を P 直線 CO と辺 AB の交点を Q とする.また,点 O を通り直線 AB に平行な直線が辺 AC BC と交わる点を,それぞれ M N とする.このとき,

AO = AB + AC

であり,

BP:PC= : AO: OP= :

である.また CO :OQ= : であり

MN = AB

である.ゆえに BN :NP:PC = : : となる.

2013 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )= e-x および座標平面上の曲線 C :y=f (x ) を考える.ここで, e は自然対数の底である. C 上の点 ( a,f (a )) a>0 における接線を l とする.原点を O l x 軸の交点を P l y 軸の交点を Q とし,三角形 OPQ の面積を S ( a) とする.また,曲線 C 直線 l および y 軸で囲まれた部分の面積を T ( a) とする.

(1)  2 P Q の座標をそれぞれ a を用いて表せ.

(2)  a a >0 の範囲で動くとき, S( a) の最大値を求めよ.

(3)  ea (1- T( a) ) を求めよ.

(4)  a1 a2 a n を次のように定める. a1 =a とし, n2 のとき,点 ( an- 1,f ( an-1 ) ) における C の接線と x 軸との交点の x 座標を a n とする. sn= k=1 nf (ak ) とおくとき, limn sn を求めよ.

2013 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

30点

易□ 並□ 難□

【3】  1 回行うごとに,勝ち負けが必ず定まるゲームがある. 1 回のゲームで勝つ確率と負ける確率はそれぞれ 12 であるとする.このゲームを繰り返し行う. n=1 2 3 に対して, n 回目のゲームの得点 q n を次のように定める.まず, 1 回目のゲームで勝ったときは q1= 1 負けたときは q1= -1 とする. n2 に対しては次のように定める. (n -1 ) 回目のゲームで勝っていた場合, n 回目のゲームで勝てば qn=1 負ければ q n=-1 とする. (n -1) 回目のゲームで負けていた場合, n 回目のゲームで勝てば qn=- 2q n-1 負ければ qn=2 qn -1 とする.

 例えば, 1 回目のゲームで勝ち, 2 回目から 4 回目までのゲームにすべて負け, 5 回目から 7 回目までのゲームにすべて勝ったとすると,

(q 1,q 2,q 3,q 4,q 5,q 6,q )= (1, -1,- 2,-4 ,8,1, 1)

となる.

  Sn= k=1 nq k とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1) ゲームを 3 回行うとする. S3 0 となる確率を求めよ.

(2)  n 回目のゲームに勝ち, (n +1 ) 回目から ( n+m ) 回目までのゲームにすべて負け, (n +m+1 ) 回目のゲームに勝ったとする.このとき,

T=q n+1 +qn +2+ +q n+m +qn +m+1

を求めよ.ただし, n n 1 以上の整数とする.

(3) ゲームを 7 回行うとする. 7 回目のゲームに勝ち,かつ S7= 3 となる確率を求めよ.

(4) ゲームを 7 回行うとする. S7 0 となる確率を求めよ.

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