2013　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$などは既出の$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$を表す．

(1)　$1$つの袋に，$\boxed{\text{S}}\text{，}\boxed{\text{T}}\text{，}\boxed{\text{U}}$の$3$種類のカードがそれぞれ$s$枚，$t$枚，$u$枚ずつ入っている．ただし$s\text{，}t\text{，}u$は$3$以上の整数である．この袋からカードを$1$枚ずつ$3$枚取り出して，取り出した順に並べる．ただし，取り出したカードはもとに戻さない．次のことが成り立っているとする．

(ⅰ)　$1$枚目のカードが$\boxed{\text{T}}$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．

(ⅱ)　$1$枚目のカードが$\boxed{\text{T}}$で，かつ，$2$枚目のカードが$\boxed{\text{T}}$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{39}}$である．

(ⅲ)　並べたカードが$1$枚目から順に$\boxed{\text{T}}\boxed{\text{U}}\boxed{\text{S}}$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{40}}$である．

(ⅳ)　並べたカードが$\boxed{\text{S}}\boxed{\text{S}}\boxed{\text{S}}$となる確率は${\displaystyle \frac{1}{8}}$より大きい．

　このとき，(ⅰ)，(ⅱ)より

$t=\boxed{\text{ア}\text{イ}}\text{，}s+t=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$

であることがわかる．さらに(ⅲ)より

$(s,u)=(\boxed{\text{オ}\text{カ}},\boxed{\text{キ}\text{ク}})$または$(s,u)=(\boxed{\text{ケ}\text{コ}},\boxed{\text{サ}\text{シ}})$

であることがわかる．ただし$\boxed{\text{オ}\text{カ}}<\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$とする．さらに(ⅳ)より

$(s,u)=(\boxed{\text{ス}\text{セ}},\boxed{\text{ソ}\text{タ}})$

であることがわかる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$n$を$1$以上の整数，$e$を自然対数の底とする．関数

$f_n(x)={\left({\displaystyle \frac{x}{6}}\right)}^n{e}^{n-x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考えると，$f_n(x)$の$x\geqq 0$での最小値は$\boxed{\text{チ}}$である．また，$f_n(x)$の$x\geqq 0$での最大値は，$n=1$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}n=2$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{，}n=3$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$となる．次に関数

$\begin{array}{cc}{g}_n(x)=\sin ({\displaystyle \frac{x}{6}}{e}^{1-\frac{x}{n}})& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ h_n(x)={\displaystyle \frac{x}{6}}{e}^{1-{\displaystyle \frac{x}{n}}}& \text{（}x\geqq 0\text{）}\end{array}$

を考える．$h_n(x)$の$x\geqq 0$での最小値は$\boxed{\text{ネ}}$であり，最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}n$である．したがって，$g_n(x)$の$x\geqq 0$での最小値が$-1$かつ最大値が$1$となるような最小の$n$は$\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(3,0)\text{，}\mathrm{Q}(2\cos \theta ,2\sin \theta )\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$について，$d$を原点$(0,0)$と直線$\mathrm{PQ}$の距離とすると，

$d^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}{\sin }^2\theta }{\boxed{\text{マ}\text{ミ}}-\boxed{\text{ム}\text{メ}}\cos \theta }}$

である．$d^2$は$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$のとき最大値$\boxed{\text{ユ}}$をとり，このとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}\sqrt{\boxed{\text{リ}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}}$

である．

【２】　実数$a\text{，}b$に対し，関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+ax+b$

と定め，座標平面において曲線$C:y=f(x)$と，$C$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$を考える．ただし，$t\ne 0$とする．直線$l$は点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で曲線$C$と接しているとする．さらに，直線$l^{\prime }$は点$\mathrm{Q}$を通り，$\mathrm{Q}$と異なる点$\mathrm{R}$で曲線$C$と接しているとする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$を，$t$を用いて表せ．また，直線$l$の傾き$m$と$y$切片$k$を，$t\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$t>0$の場合に，$x\geqq 0$において，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とおき，$x\leqq 0$において，曲線$C\text{，}$直線$l\text{，}y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とおく．$S_1\text{，}{S}_2$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　直線$l^{\prime }$の方程式が$y=0$のとき，$a\text{，}b$を，それぞれ$t$を用いて表せ．

【３】　座標平面において，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す$1$次変換により，点$(1,2)$が点$(3,5)$に移され，点$(1,1)$が直線$y=x$上に移されるとする．さらに$ad-bc=4$とする．

(1)　$A$を求めよ．

数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(2)　$y_n-x_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{x_n}{2^n}}$を$n$を用いて表せ．

(4)　$x_n$と$y_n$を$n$を用いて表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$を求めよ．