2013　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】(1)　次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える．

条件：ある定数$k$があって，点$(n,a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$はすべて直線$y=-5x+k$の上にある．

このとき，$\{a_n\}$は公差$-\boxed{\text{ア}}$の等差数列である．${\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i$の値が$n$によらず一定となるのは$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$のときであり，その値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　次の条件を満たす数列$\{b_n\}$を考える．

条件：ある定数$l$があって，点$(n,{\log }_2{b}_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$はすべて直線$y=-5x+l$の上にある．

このとき，$\{b_n\}$は公比${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$の等比数列である．${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{b}_i\leqq 1$がすべての$n$に対して成り立つためには，$l\leqq {\log }_2\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$であることが必要十分である．

【２】　$n$を自然数とする．$0\leqq r\leqq n$を満たす整数$r$に対して，$f_n(r)={\displaystyle \frac{4^r{2}^{n-r}}{r!(n-r)!}}\text{，}{g}_n(r)={\displaystyle \frac{5^r}{r!(n-r)!}}$とおく．ただし，$0!=1$であるとする．

(1)　$r\leqq n-1$のとき，$f_n(r)<f_n(r+1)$が成り立つためには，

$r<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(\boxed{\text{ウ}}n-1)$

であることが必要十分である．また，$g_n(r)<g_n(r+1)$が成り立つためには，

$r<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}(\boxed{\text{カ}}n-1)$

であることが必要十分である．

(2)　$n=10$とする．

(a)　$f_{10}(r)$が最大になるのは$r=\boxed{\text{キ}}$のときである．また，$g_{10}(r)$が最大になるのは$r=\boxed{\text{ク}}$のときである．

(b)　

${\displaystyle \sum _{r=1}^{10}}{f}_{10}(r)={\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{ケ}}}{3}^{\boxed{\text{コ}}}}{5^{\boxed{\text{サ}}}7}}$

である．また，

${\displaystyle \sum _{r=0}^{10}}{g}_{10}(r)={\displaystyle \frac{2^{\boxed{{\displaystyle \text{シ}}}}{3}^{\boxed{\text{ス}}}}{5^{\boxed{\text{セ}}}7}}$

である．

【３】　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$をとり，線分$\mathrm{AC}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<p<1$とする．

(1)　線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$が直交するようにとれるためには，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq p<\boxed{\text{ウ}}$であることが必要十分である．そのような$\mathrm{Q}$がとれるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{BC}}}=q$とおく．そのとき，$(p+1)(q+1)=\boxed{\text{エ}}$が成り立ち，

${\mathrm{PQ}}^2=\boxed{\text{オ}}(p^2+q^2)-\boxed{\text{カ}}$

となる．さらに，$\mathrm{PQ}$が最小となるのは，$p=\sqrt{\boxed{\text{キ}}}-\boxed{\text{ク}}$のときで，このとき

${\mathrm{PQ}}^2=\boxed{\text{ケ}\text{コ}}-\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

(2)　点$\mathrm{D}(1,1,1)$をとる．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{BD}$上の点$\mathrm{R}$を，線分$\mathrm{EF}$と線分$\mathrm{PR}$が交わるようにとる．このとき

${\mathrm{PR}}^2=\boxed{\text{ス}}{p}^2-\boxed{\text{セ}}p+\boxed{\text{ソ}}$

である．

【４】　$k$は正の定数として$f(x)=-x^2+kx$とおき，$xy$平面における放物線$C:y=f(x)$の上の点$\mathrm{P}$に対し，次の条件(＊)を考える．

(＊)：$\mathrm{P}$における$C$の法線（すなわち，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直な直線）は，原点$\mathrm{O}$を通る．

(1)　条件(＊)を満たす$\mathrm{P}$が，$C$上に$3$つあるような$k$の値の範囲は

$k>\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\cdots$(＊＊)

である．

$k$が(＊＊)の範囲にあるとき，条件(＊)を満たす$3$つの点のうち$\mathrm{O}$と異なる点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とし，それらの$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．さらに領域$\alpha \leqq x\leqq \beta$において，放物線$C$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれた図形の面積を$S$とし，直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれた図形の面積を$T$とする．

(2)　$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}k\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}(k^2+\boxed{\text{キ}})$である．

(3)　$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が$45\mathrm{°}$になるのは，$k=\sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}$のときである．そのとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．