2013　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　不等式$|3^x-3^{-x}|\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$をみたす実数$x$に対して，以下の問いに答えなさい．

(a)　$3^x+3^{-x}$のとりうる値の範囲は，

$\boxed{\text{ア}}\leqq 3^x+3^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(b)　$2\cdot 9^x+2\cdot 9^{-x}-3^{x+2}-3^{-x+2}$のとりうる値の範囲は，

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\leqq 2\cdot 9^x+2\cdot 9^{-x}-3^{x+2}-3^{-x+2}\leqq -\boxed{\text{ク}\text{ケ}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　等式$x^2-6xy+12y^2=1$をみたす正の実数$x\text{，}y$を考える．

(a)　$z=x+3y$は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$

のとき，最大値$\sqrt{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}$をとる．

(b)　$z=xy$は

$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}}$

のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}+\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$をとる．ただし，$\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{セ}}$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,a)\text{，}\mathrm{C}(0,a)$をとる．ただし，$a$は$a>1$の定数である．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を長方形$\mathrm{OABC}$の内部または辺上にとり，点$\mathrm{P}$の座標を$(1,p)$とする．以下，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が正三角形の$3$頂点となる場合について考える．

(a)　点$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}p,{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}p)$である．

(b)　点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{BC}$上にあるとき，$a$のとりうる値の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(c)　点$\mathrm{P}$が動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値は$a$の値によって異なる．その最大値は$a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{セ}}}$のとき，${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$であり，$1<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{セ}}}$のとき，$\sqrt{\boxed{\text{チ}}}{a}^2-\boxed{\text{ツ}}a+\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{4}\pi }}\sqrt{1-\cos 4x}dx$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　実数$t$について，区間$t\leqq x\leqq t+1$における実数$x$の関数$f(x)=x^2-6x+2$の最小値$g(t)$を求めなさい．

【３】　座標平面上において$x$軸上の点$\mathrm{P}(p,0)$から放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+1)$に$2$本の接線を引く．$2$つの接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を$\beta$とする．$\alpha >\beta$として以下の問いに答えなさい．

(1)　$\alpha$を用いて$p$を表しなさい．

(2)　$\alpha$を用いて$\beta$を表しなさい．

(3)　$▵\mathrm{PAB}$の面積を$S$とするとき，$\alpha$を用いて$S$を表しなさい．