2013　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，直線$l:y=2x+1$と放物線$C:2y^2=a(x+1)$を考える．ただし，$a$は実数の定数である．直線$l$と放物線$C$が異なる$2$点で交わるのは，

$a>\boxed{\text{ア}}\text{，}a<-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$

のときである．このとき，直線$l$と放物線$C$の$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を頂点とする三角形が直角三角形となるのは，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}$

のときである．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　実数$x$の関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(2x+3t)\sin tdt$に対して，

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\boxed{\text{ア}}\pi +\boxed{\text{イ}}$

である．

また，$f(x)$の導関数$f\prime (x)$に関して，

$f\prime \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi +\boxed{\text{オ}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　数列$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sqrt[n]{{}_{2n}P_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の極限値は

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{e}}$

である．

数列$b_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\sqrt[n]{{}_{4n}P_{2n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の極限値は

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}{e^2}}$

である．

数列$c_n=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{{}_{8n}P_{4n}}{{}_{6n}P_{4n}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

の極限値は

$\underset{\to \infty }{\lim }{c}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}}$

である．

ただし，${}_{m}P_r={\displaystyle \frac{m!}{(m-r)!}}$であり，$e$は自然対数の邸である．また，記号$\sqrt[n]{}$は$n$乗根を表す．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　条件$x={\tan }^{2}y$を満たす，実数$x$について微分可能な$x$の関数$y$を考える．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<y<\pi$とする．

(a)　$x=3$のとき，$y$の値を求めなさい．

(b)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$および${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$x$の式で表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$n$を自然数とし，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt[n]{5}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{5}}})$とする．このとき，${(x+\sqrt{1+x^2})}^n$の値を求めなさい．ただし，記号$\sqrt[n]{}$は$n$乗根を表す．

【３】　座標平面において，楕円${\displaystyle \frac{x^2}{5}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$上に点$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$をとる．楕円の$2$つの焦点を${\mathrm{F}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_2$とする．

(1)　$\angle {\mathrm{F}}_2\mathrm{P}{\mathrm{F}}_1=\theta \text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$とする．

(a)　$\theta >{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるように点$\mathrm{P}$をとるとき，$\alpha$がとりうる値の範囲を求めなさい．

(b)　$\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$となるように点$\mathrm{P}$をとるとき，$\alpha$がとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$|\mathrm{P}{\mathrm{F}}_2-\mathrm{P}{\mathrm{F}}_1|<3$となるように点$\mathrm{P}$をとるとき，$\alpha$がとりうる値の範囲を求めなさい．