2013　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt{3}\sin x\cos x+4\cos 2x$

と定める．このとき，以下が成り立つ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}f\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}f\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

(2)　座標平面上に曲線$y=f(x)$を考える．点$({\displaystyle \frac{\pi }{12}},f\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}\pi$

となる．

(3)　$f(x)$は$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を満たす実数$\alpha$を用いて

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\sin (2x+\alpha )$

と書き表される．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,5)\text{，}\mathrm{B}(-3,0)\text{，}\mathrm{C}(2,0)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく．$t$を$0\leqq t\leqq 1$の範囲の実数として，線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たす点とする．線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イウ}}}{\boxed{\text{エ}}}})$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$のときである．

(3)　点$\mathrm{Q}$の座標は，$t$を用いて，$({\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ケ}}t+\boxed{\text{コ}}}{t+\boxed{\text{サ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}t}{t+\boxed{\text{セ}}}})$と書ける．$▵\mathrm{DBQ}$と$▵\mathrm{CBQ}$の面積が等しくなるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときである．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上で連立不等式$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2\leqq 0\\ 0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$の表す領域を$D$とおく．下図$\text{①}$〜$\text{⑨}$の中で，黒く塗りつぶされた部分（境界を含む）が$D$を示しているものの番号は$\boxed{\text{ア}}$である．$D$内で$y$座標が最大となる点の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．$m$を実数とし，点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$y-mx$の最大値は，

$m\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}m\text{，}m\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}m$

である．（上の記述において$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は既出の$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$を表している．）

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x(x-7)}}$

と定める．さらに，座標平面上に曲線$y=f(x)$を考える．

(1)　関数$f(x)$の区間$0<x<7$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$2$点$(1,f(1))\text{，}(4,f(4))$を通る直線を$l$とおく．$l$の方程式を求めよ．

(3)　区間$0<x<7$において，曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積を$S$とおく．$S$の値を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{5}\text{，}\mathrm{BC}=3\sqrt{2}\text{，}\mathrm{AC}=5\sqrt{2}$である．

(1)　$\theta =\angle \mathrm{ABC}$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円を$S$とし，$S$の半径を$R$とする．$R$の値を求めよ．

(3)　円$S$の中心を$\mathrm{O}$とおく．点$\mathrm{A}$における$S$の接線と点$\mathrm{C}$における$S$の接線の交点を$\mathrm{D}$とおく．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．