2013　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，放物線$C_1:y=a{x}^2+bx+c$は点$\mathrm{A}(-2,1)$を通るとする．実数$p\text{，}q$に対して，放物線$C_2:y={\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2+px+q$は点$\mathrm{B}(2,-7)$を通るとする．

(1)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$が一致するのは，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b=p=-\boxed{\text{ウ}}\text{，}c=q=-\boxed{\text{エ}\text{オ}}$

の場合である．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が放物線$C_1$上を動くとき

$\{\begin{array}{l}X=2-x\\ Y=1-y\end{array}$

によって定まる点$\mathrm{Q}(X,Y)$の軌跡が放物線$C_2$であるのは，

$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}b=-\boxed{\text{ク}}\text{，}c=\boxed{\text{ケ}}\text{，}p=-\boxed{\text{コ}\text{サ}}\text{，}q=\boxed{\text{シ}}$

の場合である．

(3)　(2)の放物線$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}$である．

【２】　大小$2$つのさいころを投げる．大きいさいころの出た目を初項とし，小さいさいころの出た目を公比とする等比数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$が得られる．

(1)　第$6$項$a_6$が$6$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(2)　第$72$項$a_{72}$が$192$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(3)　第$360$項$a_{360}$が$3240$で割り切れる整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

(4)　第$360$項の平方根$\sqrt{a_{360}}$が整数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【３】　等式$f_1(\cos \theta )=\cos 2\theta$がすべての実数$\theta$について成り立つような多項式$f_1(x)$と，等式$f_2(\cos \theta )=\cos 3\theta$がすべての実数$\theta$について成り立つような多項式$f_2(x)\text{，}$および等式$f_3(\cos \theta )=\cos 6x$がすべての実数$\theta$について成り立つような多項式$f_3(x)$について考える．

(1)　$f_1(x)=\boxed{\text{ア}}{x}^2-\boxed{\text{イ}}$であり，$f_2(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^3-\boxed{\text{エ}}x$である．また，$f_3(x)=32x^6-\boxed{\text{オ}\text{カ}}{x}^4+\boxed{\text{キ}\text{ク}}{x}^2-\boxed{\text{ケ}}$である．

(2)　これらの$3$つの関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$に対し，実数$x$が条件$C$をみたすとは，これらの関数のうち少なくとも$2$つの関数の値が$x$において等しくなることであるとする．$-1\leqq x\leqq 1$をみたす実数$x$のうち条件$C$をみたすものは全部で$\boxed{\text{コ}\text{サ}}$個あり，それらの実数のうち$3$番目に大きいものは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

(3)　$3$つの関数にさらに$f_4(\cos \theta )=\cos 4\theta$がすべての実数$\theta$について成り立つような関数$f_4(x)=8x^4-8x^2+1$を$1$つ加える．つまり，$4$つの関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}{f}_4(x)$を考える．この場合，組み分けを行うとは，$4$つの関数を$2$つの組に分け，それぞれの組が$2$つの関数からなるようにすることとする．さらにここで実数$x$が条件$D$をみたすとは，ある組み分けを行うことにより，$1$つの組に属する$2$つの関数の$x$における値が等しく，かつ他の組に属する$2$つの関数の$x$における値も等しくなることであるとする．$-1\leqq x\leqq 1$の範囲にある実数$x$のうち条件$D$をみたすものは全部で$\boxed{\text{ソ}}$個あり，それらの実数のうち最も小さいものは$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$である．

【４】　$p\text{，}q$がともに実数であるとき，$x$についての$3$次方程式$x^3+px+q=0$が$3$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は，

$p<\boxed{\text{ア}}$かつ$|q|<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}{|p|}^{\frac{3}{2}}$

によって与えられる．一方，$a$が実数であるとき，$x$の多項式$x^3+a{x}^2$は，$X=x+{\displaystyle \frac{a}{3}}$とおくことにより，$X$の多項式として表すことができる．具体的には$x$の多項式と$X$の多項式についての等式

$x^3+a{x}^2=X^3-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{a}^{2}X+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}{a}^3$

が成立する．$3$つの実数$a\text{，}b\text{，}c$により定まる$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の解の個数は，左辺を$X$の多項式として表すことによって得られる$X$についての$3$次方程式の解の個数と一致するため，これまでの考察から，$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が$3$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は

$b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}{a}^2$かつ$|{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{a}^3-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}ab+c|<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}\cdot {|b-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}{a}^2|}^{\frac{3}{2}}$

で与えられることがわかる．