2013 東京理科大学 理学部B方式2月13日実施MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2013 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.ただし,     2 けた の数を表すものとする.また,分数は既約分数(それ以上約分できない分数)の形に表すものとする.なお,問題文中の,例えば は既出の を表す.

(1)  N 2 以上の自然数とする. 1 から N までの番号が書かれた球が 1 個ずつあり,袋の中にこの N 個の球が入っている.この袋から同時に無作為に 2 個の球を取り出すことを考えよう.どの球を取り出す確率もすべて等しいものとして,次の問いに答えよ.ただし, k 1 以上 N 以下の自然数とする.

(a) 取り出した球に書かれている大きい方の番号が k である確率は

k- N2 - N

である.

(b) 取り出した球に書かれている小さい方の番号が k である確率は

N- kN2 - N

である.

(c) 取り出した球に書かれている大きい方の番号の期待値は

N+

である.

(d) 取り出した球に書かれている小さい方の番号の期待値は

N+

である.

2013 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.ただし,     2 けた の数を表すものとする.また,分数は既約分数(それ以上約分できない分数)の形に表すものとする.なお,問題文中の,例えば は既出の を表す.

(2)  a b は実数の定数で, a>0 とする.座標平面上の曲線 C :y=x 2-2 | x| と直線 l :y=a x+b について,次のことが成り立つ.

b- のときは, a の値にかかわらず, C l はつねに共有点をもつ.

b<- のときは, C l が共有点をもたないような b の範囲は, a を用いて,

b<- 1 4 ( a2+ a+ )

と表される.

b=0 のとき, C l の共有点の個数は,次のようになる.

a< ならば 個, a ならば

2013 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートにマークせよ.ただし,     2 けた の数を表すものとする.また,分数は既約分数(それ以上約分できない分数)の形に表すものとする.なお,問題文中の,例えば は既出の を表す.

(3) 空間において,ベクトル ( 1,1, 1) と同じ向きで,大きさが 1 のベクトルを

a =( 1 , 1 , 1 )

とおく.また, a に垂直で,大きさが 1 のベクトルのうち, y 成分と z 成分が負で等しいベクトルを

b =( 2 ,- 1 ,- 1 )

とおく. a b の両方に垂直で,大きさが 1 のベクトルは 2 つ存在し,

c1 = ( ,- 1 , 1 )

c2 = ( , 1 ,- 1 )

である.

  2 つのベクトル d1 d2

d1 = 2a + 3b + 5 c1 d2 = 5a + 2b + 3 c2

とすると,その大きさは

| d1 | = | d2 | =

である.

2013 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  2 次の正方行列 A =( ab cd ) B= (e f gh )

A2 O B 2O AB =BA =O

を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし, O 2 次の零行列とする.

(1)  A は逆行列をもたないことを,背理法を用いて表せ.

(2)  A2 =α A となるような α a d の式で表せ.

(3)  A2 =αA B2 =βB となるような α β に対し, P= 1α A+ 1β B とおく.

(a)  P2 -P を求めよ.

(b)  P=( p qr s ) とおいたとき, p+s の値を求めよ.

(c)  P を求めよ.

2013 東京理科大学 理学部B方式

情報数理,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 実数 t に対して, x=cos 2t y= cos3 t とする.次の問いに答えよ.

(1)  cos2 t-cos 2 (π- t) cos 3t +cos3 (π -t) を計算せよ.

(2)  0<a <b<π cos 2a =cos2 b かつ cos 3a =cos3 b を満たすような a b の値を求めよ.

(3)  0t π 2 において, d xd t< 0 かつ dy dt <0 であるような t の値の範囲 T 1 と, dx dt <0 かつ dy dt >0 であるような t の値の範囲 T 2 をそれぞれ求めよ.

(4)  t 0 tπ の範囲を動くとき,(1),(2),(3)の結果に注意して,点 ( x,y ) が描く曲線の概形を図示せよ.

(5)  y2 x の多項式で表せ.

(6) (4)の曲線で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

inserted by FC2 system