2013　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　以下の問に答えよ．必要なら(1)に述べられている事実および(1)で得られた結果は(2)の解答に用いてよい．

(1)　実数$z$と$2$つの$0$以上の実数$t\text{，}s$によって定まる行列$P=\left(\begin{array}{cc}1+t& z\\ 0& 1+s\end{array}\right)$を$n$回かけることによって行列$P^n$が得られる．ただし，$P^1=P$とする．各自然数$n$に対し，

$P^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$

によって定まる数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}\text{，}\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$に関する以下の各問に答えよ．

(a)　数列$\{r_n\}\text{，}$数列$\{p_n\}$および数列$\{s_n\}$の一般項を求めよ．ただし，この問については答のみを解答すればよい．

(b)　$z\ne 0$のとき，数列$\{q_n\}$の一般項$q_n$を$q_n=z{u}_n$のように表すことによって得られる数列$\{u_n\}$について，$u_{n+1}$を$t\text{，}s$および$u_n$を用いて表せ．

(c)　(b)の数列$\{u_n\}$の第$n$項について$u_n\geqq n$となる．このことを数学的帰納法によって証明せよ．

(2)　$2$つの$0$以上の実数$a\text{，}b$および各自然数$n$に対し，行列$A_n$と$B_n$が

$A_n=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ {\displaystyle \frac{1}{n}}& -1\end{array}\right)\text{，}{B}_n=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ {\displaystyle \frac{1}{n}}& -1\end{array}\right)$

によって与えられているとする．$C_1=A_1$とおき，さらに各自然数$k$について$C_{2k+1}={(A_{2k+1}{B}_{2k+1})}^k{A}_{2k+1}$および$C_{2k}={A_{2k}{B}_{2k})}^k$と定めることによって，行列$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots$が与えられる．各自然数$n$に対し，

$C_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

によって定まる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$に関する以下の各問に答えよ．

(a)　第$k$項が$a_{2k}$であるような数列$\{a_{2k}\}$について，$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{2k}$を求めよ．

(b)　数列$\{a_n\}$の収束・発散を調べ，収束する場合はその極限値を求めよ．

(c)　第$k$項が$b_{2k}$であるような数列$\{b_{2k}\}$の収束・発散を調べ，収束する場合はその極限値を求めよ．

(d)　数列$\{b_n\}$の収束・発散を調べ，収束する場合はその極限値を求めよ．

【２】　この問題の解答に背理法を用いてはならない．なお，必要なら正の整数に関する素因数分解を用いてよい．以下の各問に答えよ．

(1)(a)　「正の整数$m$について，${\log }_{10}m$が有理数ならば${\log }_{10}m$は整数である．」このことを証明せよ．

(b)　(a)に述べられた事実を用いて，次の$2013$個の数

${\log }_{10}1\text{，}{\log }_{10}2\text{，}{\log }_{10}3\text{，}\cdots \text{，}{\log }_{10}2012\text{，}{\log }_{10}2013$

のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ．さらに，有理数となるものをすべて求めよ．

(2)(a)　「$2$つの正の整数$m\text{，}n$について，$\sqrt[n]{m}$が有理数ならば$\sqrt[n]{m}$は整数である．」このことを証明せよ．

(b)　(a)に述べられた事実を用いて，次の$2013$個の数

$\sqrt[6]{1}\text{，}\sqrt[6]{2}\text{，}\sqrt[6]{3}\text{，}\cdots \text{，}\sqrt[6]{2012}\text{，}\sqrt[6]{2013}$

のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べ答えよ．さらに，有理数となるものをすべて求めよ．

(c)　(a)に述べられた事実を用いて，次の$2013$個の数

$\sqrt{1}\text{，}\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}\text{，}\cdots \text{，}\sqrt{2012}\text{，}\sqrt{2013}$

のうち無理数となるものはいくつあるか理由を述べて答えよ．