2013　東京理科大学　理学部数理情報学科2月13日実施MathJax

【１】　実数$x$と自然数$n$に対して，$u_n(x)=x^n-2x^{2n+1}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，和$f(x)=1-2x+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{u}_n(x)$を求めよ．（$x$の$1$つの既約分数式に整理して答えよ．）

(2)　(1)で求めた$f(x)$に対して，区間$0\leqq x\leqq 1$における関数$g(x)$を

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}0\leqq x<1\text{）}\\ \underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)& \text{（}x=1\text{）}\end{array}$

により定める．$g(1)$の値を求めよ．さらに${\displaystyle {\int }_0^1}g(x)dx$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}{u}_n(x)dx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}|u_n(x)|dx$をそれぞれ求めよ．

(4)　区間$0\leqq x\leqq 1$における$u_n(x)$の最大値を$M_n$とし，そのときの$x$の値を${\alpha }_n$とする．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(a)　${\alpha }_n$を求めよ．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\log {\alpha }_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n$をそれぞれ求めよ．

(c)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{({\alpha }_n)}^n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$をそれぞれ求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の定数とする．$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円${\displaystyle \frac{x^2}{4b^2}}+{\displaystyle \frac{{(y-a)}^2}{b^2}}=1$と放物線$y=x^2$の共有点の個数$k$について調べよう．変数$z$の$2$次式を$f(z)={\displaystyle \frac{z}{4b^2}}+{\displaystyle \frac{{(z-a)}^2}{b^2}}-1$とし，次の問いに答えよ．

(1)　$f(z)=0$の異なる正の解の個数を$m$とする．次の$2$つの場合に分けて，可能な$m$と$k$の値の組$(m,k)$をすべて求めよ．

(a)　$f(0)=0$のとき

(b)　$f(0)\ne 0$のとき

(2)　$a=b$のとき，

(a)　$f(z)=0$が正の解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(b)　$k=3$となるような$a$の値の範囲と，$k=1$となるような$a$の値の範囲をそれぞれ求めよ．

(3)　$a<b$のとき，

(a)　$f(z)=0$の異なる正の解と，異なる負の解はそれぞれいくつあるか．

(b)　$k$の値を求めよ．

(4)　$a>b$のとき，

(a)　$f(z)=0$が異なる正の解をただ$1$つもつとき，その解は重解であることを示せ．

(b)　$k=2$となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$b$の値を$a$の式で表せ．