2013　東京理科大学　全学部2月18日実施MathJax

【１】　正の実数$a\text{，}b$と実数$c\ne 1\text{，}$および，正の整数$m$に対して，関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=a{(x-1)}^{2m}+b{(x-c)}^2$

$g(x)=\log f(x)$

と定める．以下，$f^{\prime }(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)$は，それぞれ$f(x)\text{，}g(x)$の導関数を表す．

(1)　$f(x)$は条件

$f(1)=2\text{，}{f}^{\prime }(1)=9$

を満たすとする．このとき，$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　$f(x)$が(1)の条件を満たすとき，$g^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．さらに，$g^{\prime }(c)=-9$であるとすると，$m=\boxed{\text{ク}}$となる．

(3)　$f(x)$は条件

$f(1)=2\text{，}{f}^{\prime }(1)=9\text{，}{g}^{\prime }(c)=-9\text{，}f(c)={\displaystyle \frac{64}{81}}$

を満たすとする．このとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【２】　座標平面において不等式

$-6x\leqq 2y\leqq x+1\text{，}{x}^2+y^2\leqq 4$

が表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$で$x$のとり得る値の最大値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$最小値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．また，$y$のとり得る値の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}$最小値は$-{\displaystyle \frac{3}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}$である．

(2)　$-4x+4y=k$として，領域$D$において$k$の値のとり得る範囲を求めると

$-\boxed{\text{サ}}\sqrt{2}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^3-6x^2+27$

と定める．

(1)　関数$f(x)$の極小値は$-\boxed{\text{ア}}\text{，}$極大値は$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$であり，方程式$f(x)=0$は整数の解$\alpha =\boxed{\text{エ}}$をもつ．

(2)　$\alpha$と異なる実数$t$をとり，座標平面において曲線

$C\text{：}y=f(x)$

と，$C$上の$2$点$\mathrm{P}(\alpha ,0)$と$\mathrm{Q}(t,f(t))$を結ぶ直線$l$を考える．直線$l$の方程式は

$l\text{：}y=(t^2-\boxed{\text{オ}}t-\boxed{\text{カ}})(x-\alpha )$

となる．

(3)　直線$l$は曲線$C$に，$t=\boxed{\text{キ}}$のとき点$\mathrm{P}$で接し，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき点$\mathrm{Q}$で接する．

(4)　$t\ne \boxed{\text{キ}}$かつ$t\ne {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき，直線$l$は曲線$C$と相異なる$3$点で交わる．$l$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と異なるもう一つの交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$の中点を$\mathrm{T}$とするとき，点$\mathrm{T}$の$x$座標は

$\boxed{\text{コ}}-{\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{サ}}}}$

と表される．$t$が$t<0$の範囲を動くとき，点$\mathrm{T}$の$y$座標の極小値は，$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．実数$a\text{，}b$に対し，$n$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^n+2ax+3b$

と定め，定積分$I={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$を考える．$I$の値を最小にするような$a\text{，}b$と，そのときの$I$の値を求めたい．

(1)

$I={[{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}{x}^{2n+1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{a}^2{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{b}^{2}x]}_0^1+{[{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{n+2}}a{x}^{n+2}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{n+1}}b{x}^{n+1}]}_{-1}^1$

である．

(2)　$n$が偶数の場合，$I$は，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}}(n+1)}}$のとき，最小値

${\displaystyle \frac{n^2}{(\boxed{\text{ク}}n+\boxed{\text{ケ}}){(n+\boxed{\text{コ}})}^2}}$

をとる．

(3)　$n$が奇数の場合，$I$は，$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{2(n+\boxed{\text{シ}})}}\text{，}b=\boxed{\text{ス}}$のとき最小値

${\displaystyle \frac{{(n-\boxed{\text{セ}})}^2}{(\boxed{\text{ソ}}n+1){(n+\boxed{\text{タ}})}^2}}$

をとる．

【５】　平面に$▵\mathrm{OAB}$をとり，その面積を$1$とする．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$の中点を$\mathrm{N}$とする．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{Q}$が一直線上にあるようにとる．$\mathrm{N}$は線分$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$に内分しているとする．${\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}}=x\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}}=y$とおく．

(1)　$\mathrm{P}=\mathrm{A}$のとき，$▵\mathrm{OAN}\text{，}▵\mathrm{ONQ}$の面積はそれぞれ

$▵\mathrm{OAN}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}▵\mathrm{ONQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}y$

なので，このときの$y$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

$\mathrm{Q}=\mathrm{B}$のとき，$▵\mathrm{OBN}\text{，}▵\mathrm{ONP}$の面積はそれぞれ

$▵\mathrm{OBN}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}▵\mathrm{ONP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}x$

なので，このときの$x$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{6}}$である．また，$\mathrm{N}$は$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$に内分するので

$(1-t)x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}ty={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(3)　${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\leqq x\leqq 1\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\leqq y\leqq 1$であるから，$t$の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．$▵\mathrm{OPQ}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{t(1-t)}}$であるから，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．

【６】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$上を，また，点$\mathrm{T}$は線分$\mathrm{OA}$上を動き，$▵\mathrm{APT}$の面積は$▵\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{2}{3}}$となっているとする．

(1)　$\mathrm{AP}=s\text{，}\mathrm{AT}=t$とおくとき，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ア}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$であるから，$st={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$となる．

(2)　${\mathrm{PT}}^2=L$とおき，$L$を$\theta$と$t$で表すと，

$L=t^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}}{t^2}}$

となる．

(3)　$\mathrm{AB}$が次の不等式を満たすように$\theta$を固定し，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{T}$が上記の条件を満たして動くときの$L$の最小値を求めると，次のようになる．

(a)　$0<\mathrm{AB}<{\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$L$の最小値は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

(b)　${\displaystyle \frac{2}{3}}\leqq \mathrm{AB}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$L$の最小値は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$

(c)　${\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq \mathrm{AB}<2$のとき，$L$の最小値は，

$\boxed{\text{チ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}$