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2013-13442-1501
2013 東京理科大学 理学部二部B方式
3月4日実施
(1),(2)で配点11点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからオにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい.
(1) 等式
(3 +18⁢ 2) ⁢x+( 11-8⁢ 2) ⁢y=111
を満たす正の整数は x = ア と y = イ である.
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(2) 等式
2⁢x2 -3⁢ x+5 x3 -6⁢x 2+11 ⁢x-6 = a x-1 - bx-2 + c x-3
が x についての恒等式なるような正の整数は a =ウ ,b =エ と c =オ である.
2013-13442-1503
15点
【2】 次の 内のカからシにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい. は 2 桁の数を表し, は 5 桁の数を表すものとする.
1000 以下の正の整数のうち, 3 の倍数で,かつ, 5 で割ったときの余りが 2 となるものすべてを小さい順に a1 ,a 2 ,⋯ , an とすると, n= カ キ である.このとき,
∑i= 1n ai= ク ケ コ サ シ
である.
2013-13442-1504
10点
【3】 次の 内のスからテにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい. は 2 桁の数を表すものとする.ただし,分数は既約分数として表すものとする.
正の実数 t に対し,直線 y =3 2⁢ x 上に中心 (t , 32⁢ t ) をもつ円で,円 ( x-2) 2+ y2= 1 に外接するものの半径を f ⁡(t ) とおく.このとき,
( f⁡( t)+ 1) 2= ス セ ソ ⁢ t 2- タ⁢ t+ 4
が成立する. t がすべての正の実数を動くとき,右辺の 2 次関数は t = チ ツ テ で最小値をとる.
2013-13442-1505
24点
【4】 次の 内のトからムにあてはまる 0 から 9 までの整数を求めて,解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい. は 2 桁の数を表すものとする.根号を含む形で解答する場合は,根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい.また,分数は既約分数として表すものとする.
平面上に 4 点, O= (0, 0) , P , Q , R があり,
|OP →| =1 , | OQ→ |=2 , ∠POQ= 60⁢ ° , OP→ +OQ→ +OR→ =0→
を満たしている.すると,
OP→ ⋅OQ →= ト , | OR→ |= ナ
であり,
OP→ ⋅OR→ =- ニ , OQ→ ⋅OR→ =- ヌ
となる.したがって,
cos⁡∠ POR=- ネ ノ ⁢ ハ , cos ⁡∠QOR= - ヒ フ ヘ ⁢ ホ
また, ▵PQR の面積 S は, S= マ ミ ⁢ ム となる.