2013　東京理科大学　理学部二部3月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからオにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

(1)　等式

$(3+18\sqrt{2})x+(11-8\sqrt{2})y=111$

を満たす正の整数は$x=\boxed{\text{ア}}$と$y=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからオにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．

(2)　等式

${\displaystyle \frac{2x^2-3x+5}{x^3-6x^2+11x-6}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}-{\displaystyle \frac{b}{x-2}}+{\displaystyle \frac{c}{x-3}}$

が$x$についての恒等式なるような正の整数は$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}b=\boxed{\text{エ}}$と$c=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$内のカからシにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．$\boxed{}$は$2$桁の数を表し，$\boxed{}$は$5$桁の数を表すものとする．

　$1000$以下の正の整数のうち，$3$の倍数で，かつ，$5$で割ったときの余りが$2$となるものすべてを小さい順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とすると，$n=\boxed{\text{カ}\text{キ}}$である．このとき，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i=\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\text{サ}\text{シ}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$内のスからテにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．ただし，分数は既約分数として表すものとする．

　正の実数$t$に対し，直線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}x$上に中心$(t,{\displaystyle \frac{3}{2}}t)$をもつ円で，円${(x-2)}^2+y^2=1$に外接するものの半径を$f(t)$とおく．このとき，

${(f(t)+1)}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}{t}^2-\boxed{\text{タ}}t+4$

が成立する．$t$がすべての正の実数を動くとき，右辺の$2$次関数は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$で最小値をとる．

【４】　次の$\boxed{}$内のトからムにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．$\boxed{}$は$2$桁の数を表すものとする．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．また，分数は既約分数として表すものとする．

　平面上に$4$点，$\mathrm{O}=(0,0)\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{POQ}=60\mathrm{°}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．すると，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ト}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

であり，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=-\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}=-\boxed{\text{ヌ}}$

となる．したがって，

$\cos \angle \mathrm{POR}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{QOR}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$

である．

また，$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$は，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$となる．