2013　東邦大学　医学部医学科MathJax

2013-13460-0201

2013　東邦大学　医学部医学科

1月22日実施

易□　並□　難□

【１】　 $x^{9} - 1$ を $x + 1$ で割ったときの商を $P (x)$ とするとき， $P (x)$ を $x - 2$ で割ったときの余りは $アイウ$ である．

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【２】　 $x$ を実数とする． $104 ， 5 x ， x^{2}$ が三角形の $3$ 辺の長さとなるような $x$ の値の範囲は $エ < x < オカ$ である．

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1月22日実施

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【３】　 $0 ° ≦ θ ≦ 90 °$ の $θ$ に対して， $7 \sin θ + \cos θ = 5$ が成り立っているとき， $\frac{\sin θ}{1 + \cos θ} + \frac{\cos θ}{1 + \sin θ}$ の値は $\frac{キ}{ク}$ である．

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2013年東邦大医学部医学科【４】の図

【４】　右図のように，円周上の $4$ 点 $A ， B ， C ， D$ に対して，直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点を $E$ とし， $AB = 4 ， AE = 5 ， ∠ AED = 90 °$ とする．線分 $CD$ 上を動く点 $P$ が $∠ APB$ を最大にするとき， $EP = ケ \sqrt{コ}$ である．

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【５】　座標平面上に，原点 $(0, 0)$ から出発する動点 $P$ がある．サイコロを $1$ 回ふり， $1$ または $2$ の目が出たとき点 $P$ は $x$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動し， $3$ または $4$ の目が出たときは $y$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動し， $5$ または $6$ の目が出たときは動かないとする．

　サイコロを $4$ 回ふった結果，点 $P$ が原点 $(0, 0)$ から点 $(m, n)$ に移動する確率を $P (m, n)$ で表すとき， $\sum_{k = 0}^{2} P (2, k) = \frac{サ}{シス}$ である．

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【６】　数列 $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5}{4}, \frac{5}{2}, \frac{7}{8}, \frac{7}{6}, \frac{7}{4}, \frac{7}{2}, \frac{9}{10}, \frac{9}{8}, \dots$ において，第 $250$ 項は $\frac{セソ}{タ}$ である．

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【７】　 ${(1 - x)}^{5} {(1 + y)}^{6} {(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{7}$ の展開式における， $x^{4} y^{5}$ の項の係数は， $チツテ$ である．

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【８】　実数 $x ， y ， z$ が， $\log_{4} z = - \frac{1}{2} + \log_{2} \sqrt{\frac{x + y}{2}} ， 27^{x y - 1} = 3^{x + 2 x y + 2}$ を満たすとき， $z$ の取りうる値の範囲は $z ≧ \frac{ト}{ナ}$ である．

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【９】　 $n$ を自然数とし， $e$ を自然対数の底とする． $n$ の関数 $f (n)$ を， $f (n) = \log_{e} ({}_{2 n}C_{n}) + n {1 - \log_{e} (\frac{n}{4!})} + \log_{e} (n!)$ で定める． $X = \lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{n}$ とおくとき， $e^{X} = ニヌ$ である．

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【10】　関数 $f (x) = \sqrt{2 + x}$ について， $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} {\frac{f (2 + h)}{f (2 - h)} - {(\frac{3 - h}{3 + h})}^{3}} = \frac{ネ}{ノ}$ である．

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配点30点

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【11】　実数 $x ， y$ が $x^{2} + y^{2} ≦ \frac{3}{2}$ を満たすとき， $\frac{y}{{(x - 2)}^{2}}$ の最大値は $\frac{\sqrt{ハ}}{ヒ}$ である．

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1月22日実施

配点30点

易□　並□　難□

【12】　 $a ， b ， c ， d$ を正の実数とし， $a d - b c \neq 0$ とする．行列 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ について $A - A^{- 1} = (\begin{matrix} - 3 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix})$ が成り立つとき， $a + d = フ， a d - b c = ヘ$ である．

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1月22日実施

配点30点

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2013年東邦大医学部医学科【13】の図

【13】　三角形 $ABC$ は， $3$ 辺の長さがそれぞれ $AB = 3 ， BC = \sqrt{13} ， CA = 4$ である．辺 $BC$ を共有する正三角形 $CBD$ が三角形 $ABC$ の外側にあるとき， $\vec{AD} = \frac{ホ}{マ} \vec{AB} + \frac{ミ}{ム} \vec{AC}$ である．

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配点30点

易□　並□　難□

【14】　関数 $f (x)$ が，等式 $f (x) = x^{2} - 4 - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{2} (x - 2) | f (t) | d t$ を満たすとき， $f (- \frac{1}{2})$ の値は $\frac{メ}{モ}$ である．

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配点30点

易□　並□　難□

2013年東邦大医学部医学科【15】の図

【15】　 $O$ を原点とする座標平面上に，双曲線 $m : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ b > a > 0 ）$ があり， $m$ 上のある点における接線 $l$ は $x$ 軸と点 $(\sqrt{2}, 0)$ で交わる． $l$ と， $m$ の $2$ つの漸近線との交点のうち， $x$ 座標の大きいほうを $P ，$ 小さいほうを $Q$ とする．三角形 $OPQ$ の面積が $3 \sqrt{6} ， OP \cdot OQ = 15$ のとき， $PQ = ヤ \sqrt{ユヨ}$ である．