2013　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　座標空間において，点 $\mathrm{P}$が原点から出発し，さいころを$1$回投げるごとに，出た目が$3$以下のときは$x$座標，$4$か$5$のときは$y$座標，$6$のときは$z$座標が$1$増加するように移動させる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$3$回の移動で$(1,1,1)$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が$3$回の移動で$(1,1,1)\text{，}6$回の移動で$(2,2,2)$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$は原点から出発し，$z$座標が$2$の点に到達した後は，出た目が$4$以下のときは$x$座標，出た目が$5$以上のときは$y$座標が$1$増加するように移動させる．

　点$\mathrm{P}$が$3$回の移動で$(1,1,1)\text{，}6$回の移動で$(2,2,2)$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(2,0)$について次の問いに答えよ．

(1)　$\tan \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．また，外接円と$y$軸との交点のうち，$\mathrm{A}$でない点を$\mathrm{D}$とおくとき，$\mathrm{D}$の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{DA}$上を動くとき，$\tan \angle \mathrm{BPC}$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【３】　$180\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$のとき，次の関数を考える．

$y={\log }_4\sin 2\theta +{\log }_2(\sin \theta -3\cos \theta )-{\log }_4{\cos }^4\theta$

(1)　真数が正であることより，$\boxed{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}\mathrm{°}<\theta <\boxed{\text{ネ}\text{ノ}\text{ハ}}\mathrm{°}$である．ただし，$\tan 72\mathrm{°}=3$としてよい．

(2)　$y$の値が$1$のとき，$\tan \theta =\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{フ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$である．

(3)　(2)の$\theta$のうち，小さい方を$\alpha$とおくと，$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}}$である．これから，$\alpha =\boxed{\text{ミ}\text{ム}\text{メ}}\mathrm{°}$であることがわかる．

【４】　座標平面上の曲線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{A}(2,4)$をとる．$a$は$1$より大きい実数とし，点$\mathrm{P}(1,1-a)$と原点$\mathrm{O}(0,0)$を結んだ直線$\mathrm{OP}$と曲線$C$の共有点のうちで原点$\mathrm{O}$以外のものを点$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OQ}$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$の式で表せ．

(2)　折れ線$\mathrm{OPA}$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$の式で表せ．

(3)　$2$つの図形の面積の差$S_2-S_1$が最大になるような$a$の値を求めよ．

【５】　平面上の$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{a}$に対して，次の操作(＊)でベクトル$\overrightarrow{c}$を作る．

$\begin{array}{l}\text{(Ⅰ)}\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\text{とするとき，}\overrightarrow{b}=(-a_2,a_1)\text{とおく．}\\ \text{(Ⅱ)}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{を用いて，}\overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\overrightarrow{b}\text{と定める．}\end{array}$ (＊)

このとき，以下の問い(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　操作(＊)において，$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{c}\right|$の比および$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を求めよ．

　点${\mathrm{P}}_1(1,0)$をとり，${\mathrm{P}}_1$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$から操作(＊)により作られるベクトルが$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$となるように，点${\mathrm{P}}_2$を定める．次に，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}$から操作(＊)により作られるベクトルが$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}$となるように，点${\mathrm{P}}_3$を定める．以下，同様にして点${\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5\text{，}\cdots$を定める．

(2)　$n\geqq 2$とするとき

$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\right|+\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}\right|+\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3}\right|+\cdots +\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n}\right|$

を$n$の式で表せ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，${\mathrm{P}}_{3n}$の座標を$n$の式で表せ．