2011　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

(ⅳ)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$\sqrt{{(x+1)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-1)}^2+y^2}=2\sqrt{2}$を満たして動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線は$x$と$y$の$2$次式によって$\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}{y}^2=1$と表現することができる．

$A=\left(\begin{array}{cc}2& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ 0& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$

とする．行列$B$が

$BA=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& 0\end{array}\right)$

を満たすとき、以下の問いに答えよ．なお，行列$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の逆行列$X^{-1}$は，$\Delta =ad-bx\ne 0$のときに存在して，$X^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\Delta }}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$である．また，$X^1=X$とし，$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対しては$X^n=X{X}^{n-1}$とする．

(ⅰ)　$A$の逆行列を利用して，$B$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(x,y)$と点$\mathrm{Q}(u,v)$は，行列$B$によって

$B\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

の関係にある．点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r\text{（}>0\text{）}$の円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}(u,v)$の軌跡を求めよ．

(ⅲ)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$は

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=B^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

を満たす．線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さを$r_n$とするとき，$\{r_n\}$は無限等比数列になることを示し，無限等比級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{r}_n$を求めよ．

(ⅰ)　曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$の式で表せ．

(ⅱ)　曲線$C$の点$\mathrm{P}$における法線$m$（即ち，点$\mathrm{P}$において直線$l$と直交する直線$m$）と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の$x$座標を$t$の式で表せ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$t$が$-\infty <t<\infty$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{G}$の軌跡を$D$とする．曲線$D$の方程式を媒介変数$t$を用いた関数として表現せよ．ここで，必要ならば$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}}{3}}$であることは証明なしに用いてよい．

(ⅳ)　媒介変数で表現された関数の微分の公式を用いて，曲線$D$の方程式の導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$の式で表現せよ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{f(t)}}$と変形して，$f(t)$に相加相乗平均の不等式を適用することによって，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$の最大値およびそのときの$t$の値を求めよ．