2013　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】

(1)　$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n\text{（}2\leqq n\leqq 12\text{）}$に対して

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}-|n-\boxed{\text{イ}}|}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

【１】

(2)　整数$p\text{，}q$に対して，多項式

$f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p$

を考える．$f(0)\text{，}f(1)\text{，}f(2)$がすべて素数のとき，$p=\boxed{\text{エ}}\text{，}q=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　あるスポーツ大会において，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し，先に$3$回勝った方が優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$のときに，ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(2)　ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，$0\leqq p\leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は$f(\alpha )=f(\beta )=0\text{（}\alpha \ne \beta \text{）}$を満たす．また，この関数は$x=\alpha$で極小値$0$をとり，$x=\gamma$で極大となる．このとき，

$\gamma ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\alpha +\boxed{\text{サ}}\beta }{\boxed{\text{シ}}}}$

である．さらに，$\beta =4\alpha$のとき，極大値と極小値の差が$32$であるとすると，

$a=\boxed{\text{ス}}\text{，}b=\boxed{\text{セ}}\text{，}c=\boxed{\text{ソ}}$

である．

【４】　$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線$l$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$のとき最小となり，その値は$\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}}$である．

【５】(1)　半径$1$の球が正四面体のすべての面と接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

(2)　半径$1$の球が正四面体のすべての辺に接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

【６】　数列

$\{a_n\}:{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{2}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{2}{6}},{\displaystyle \frac{3}{6}},{\displaystyle \frac{4}{6}},{\displaystyle \frac{5}{6}},\cdots$

がある．この数列$\{a_n\}$を

${\displaystyle \frac{1}{2}}|{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}}|{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{2}{4}},{\displaystyle \frac{3}{4}}|{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}}|{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{2}{6}},{\displaystyle \frac{3}{6}},{\displaystyle \frac{4}{6}},{\displaystyle \frac{5}{6}}|\cdots$

のように群に分けると，第$k$群は，初項${\displaystyle \frac{1}{k+1}}\text{，}$末項${\displaystyle \frac{k}{k+1}}\text{，}$公差${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$の等差数列である．

(1)　数列$\{a_n\}$の各項を既約分数で表したとき，分子が$1$となる分数が$4$つ連続して初めて現れるのは，${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ノ}}}}$からの$4$つの項である．

(2)　数列$\{a_n\}$の第$1$群の初項から，第$m$群の末項までの和は，

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{m}{m+1}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{m}^{\boxed{\text{フ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}m$

である．