2013　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　放物線$C:y^2=4px\text{（}p>0\text{）}$の焦点$\mathrm{F}(p,0)$を通る$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$は互いに直交し，$C$と$l_1$は$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$で，$C$と$l_2$は$2$点${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)　$l_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)$とする．$y_1+y_2\text{，}{y}_1{y}_2$を$a$と$p$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2}}$は$l_1\text{，}{l}_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

【２】　複素数$z=1+2\sqrt{6}i$と自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n\text{，}{b}_n$を用いて

$z^n=a_n+b_{n}i$

と表す．次の問に答えよ．

(1)　${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(2)　すべての$n$について$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$が成り立つ定数$p\text{，}q$を求めよ．

(3)　どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．

(4)　$z^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は実数でないことを示せ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+2e^x+x$とする．次の問に答えよ．

(1)　実数$t$に対して$g(x)=tx-f(x)$とおく．$x$が実数全体を動くとき，$g(x)$が最大値をもつような$t$の範囲を求めよ．また$t$がその範囲にあるとき，$g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた最大値を$m(t)$とする．$a$を定数とし，$t$の関数$h(t)=at-m(t)$を考える．$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，$h(t)$の最大値を求めよ．

【４】　半径$1$の半円を底面とし，高さが$1$の半円柱に含まれる立体$R$がある．その高さ$x\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$での断面が，次の図のように$2$つの直角三角形をあわせた形になっている．次の問に答えよ．

(1)　高さ$x$での$R$の断面積$S(x)$を求めよ．

(2)　$R$の体積を求めよ．必要ならば，積分する際に$x=\sin t$と置き換えよ．

【５】　空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．

(1)　平面$Q$が平面$P$と角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交点に垂直な平面で$P\text{，}Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．

(2)　(1)の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．

(3)　$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^{\prime }$はどんな形か．また，$T^{\prime }$の面積の最大値を求めよ．