2013　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(3,5,2)\text{，}\mathrm{C}(1,2,1)$がある．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$l$上の点の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{イ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{イ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{イ}}}})$

である．

【２】　次のような群にわかれた数列がある．

$(1),(2,4),(5,7,9),(10,12,14,16),\cdots$

（第$2$群の初項は第$1$群の末項に$1$を加えたものとし，第$3$群の初項は第$2$群の末項に$1$を加えたものとする．以下同様に第$n$群の初項は第$n-1$項の末項に$1$を加えたものとする．第$n$群は公差$2\text{，}$項数$n$の等差数列である．）

　このとき次の問に答えよ．

(1)　第$n$群に含まれる項の総和は$\boxed{\text{カ}}{n}^3+\boxed{\text{キ}}{n}^2+\boxed{\text{ク}}n$である．

(2)　第$1$群から第$n$群に含まれるすべての項の総和は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}(\boxed{\text{コ}}{n}^4+\boxed{\text{サ}}{n}^3+\boxed{\text{シ}}{n}^2+\boxed{\text{ス}}n)$

である．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}\text{，}\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$▵\mathrm{AWZ}\text{，}▵\mathrm{BXW}\text{，}▵\mathrm{CYX}\text{，}▵\mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}{C}_4$とする．

　$\mathrm{AW}=x\text{，}\mathrm{ZW}=a$とおくとき

$a^2=\boxed{\text{セ}}{x}^2+\boxed{\text{ソ}}x+1\text{（}0<x<1\text{）}$

となる．円$C_0\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}{C}_4$の面積の総和を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{\pi }{4}}(\boxed{\text{タ}}{a}^2+\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}})$

となり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{テ}}}}$のとき，$S$は最小値${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ナ}}}}$をとる．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{AB}=7$であり，点$\mathrm{P}$は

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-15\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$

を満たす点とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ニ}}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

である．このとき三角形$\mathrm{OAP}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{2}}$である．

【５】　関数$f(x)=({27}^x+{\displaystyle \frac{1}{{27}^x}})-5(9^x+{\displaystyle \frac{1}{9^x}})-5(3^x+{\displaystyle \frac{1}{3^x}})+1$について次の問に答えよ．

(1)　$t=3^x+{\displaystyle \frac{1}{3^x}}$とおくとき，$t$の最小値は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

(2)　関数$f(x)$は$x={\log }_3(\boxed{\text{フ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ヘ}}})$のとき，最小値$\boxed{\text{ホ}}$をとる．

【４】　直線$x+y=1$に接する楕円

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$

を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

　$a^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}{b}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$のとき，$V$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{3}\pi }{\boxed{\text{ノ}}}}$をとる．

【５】　平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$に対して，点$\mathrm{Q}(x,y)$を以下のように定める．

$\left(\begin{array}{c}x\\ x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$

$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての点$\mathrm{Q}(x,y)$に対して，$a{x}^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a\text{，}b$の値は$a=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}b=\boxed{\text{フ}}$である．

(2)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$\boxed{\text{ヘ}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{ホ}}$である．