2013　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　極大値と極小値がともに存在するための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$\alpha +\beta$を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　$f(\alpha )+f(\beta )$を，$a$と$b$を用いて表せ．

(4)　$f(\alpha )+f(\beta )=0$が成り立つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．

【２】　次の各問に答えよ．(2)は空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が

$a_n={\displaystyle \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられている．このとき，和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．また，$S_n$は

$S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすことを示せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が

(＊)$T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．もし，$T_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ならば，(＊)で$n=2$ととれば，$T_2=T_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる．同様に，(＊)で$n=3\text{，}4\text{，}\cdots$ととれば，$T_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{（}n=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$となる．

　いま，$T_n\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，$U_n=1-2T_n$とおくと，$U_n$は漸化式$\boxed{\text{(ア)}}$を満たす．よって，${\displaystyle \frac{1}{U_1}}=c\text{（}\ne 0\text{）}$とおけば，$U_n$は$n$と$c$を用いて，$U_n=\boxed{\text{(イ)}}$と表せる．これより，$b_1=\boxed{\text{(ウ)}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{(エ)}}$が得られ，$b_n$が(1)の$a_n$と一致するのは$c=\boxed{\text{(オ)}}$のときである．

【３】　図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$▵\mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$が$▵\mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．

【４】　自然数の組$(x,y,z)$が等式$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．

(1)　すべての自然数$n$について，$n^2$を$4$で割ったときの余りは$0$か$1$のいずれかであることを示せ．

(2)　$x$と$y$の少なくとも一方が偶数であることを示せ．

(3)　$x$が偶数，$y$が奇数であるとする．このとき，$x$が$4$の倍数であることを示せ．