2013　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　一般項が$a_k=2k-1$である数列に，次のような規則で縦棒で仕切りを入れて区分けする．その規則とは，区分けされた$n$番目の部分（これを第$n$群と呼ぶことにする）が$2n-1$個の項からなるように仕切るものである．

$1|3,5,7|9,11,13,15,17|19,21,23,25,27,29,31|33,35,37,\cdots$

　このとき，例えば，第$3$群は，$9,11,13,15,17$の$5$つの項からなるので，第$3$群の初項は$9\text{，}$末項は$17\text{，}$中央の項は$3$項目の$13$である．また，第$3$群の総和は$9+11+13+15+17=65$であり，$15$は第$3$群の第$4$項である．次の問に答えよ．

(1)　第$n$群の初項を$n$の式で表せ．

(2)　第$n$群の中央の項を$n$の式で表せ．

(3)　第$n$群の項の総和$S(n)$を$n$の式で表せ．

(4)　第$1$群から第$n$群までの中央の項の総和を$n$の式で表せ．

(5)　$2013$は第何群の第何項か．

【２】　中心$\mathrm{A}(1,1)\text{，}$半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わる直線を$l$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．

(2)　直線$l$の傾きを求めよ．

(3)　$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【３】　$2$つの曲線$y=x^3-x\cdots \text{①}$および$y={(x-a)}^3-(x-a)\cdots \text{②}$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\text{②}$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1\text{，}{x}_2$における曲線$\text{②}$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$\text{①}\text{，}\text{②}$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)のとき，曲線$\text{①}\text{，}\text{②}$の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\beta -\alpha$を$a$を用いて表せ．

(4)　(2)のとき，曲線$\text{①}\text{，}\text{②}$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．