2013　早稲田大学　教育学部推薦MathJax

【１】　$n$は自然数とし，関数$f_n(x)\text{，}{g}_n(x)$を

$f_n(x)={(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n\text{，}{g}_n(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

と定義する．すべての$n$と$x\geqq 0$に対して，不等式

$f_n(x)\leqq g_n(x)$

が成り立つことを示せ．

【２】　$a\text{，}b$が自然数のとき，$a$を$b$で割った余りを$m(a,b)$で表すことにする．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$を自然数とするとき，$m(pq,r)=m(m(p,r)m(q,r),r)$であることを示せ．

(2)　$m({2012}^{122},7)$を求めよ．

【３】　$xy$平面において中心$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$半径$1$の円を$S$とする．$x$軸上の点$\mathrm{P}(a,0)\text{（}0\leqq a\leqq 1\text{）}$に対し，点$\mathrm{A}(0,-1)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線と円$S$の交点を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$から$x$軸への垂線の足を点$\mathrm{R}(b,0)$とする．ただし点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{A}$と異なるとする．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$の距離が最大となるときの$a^2$の値を求めよ．

【４】　つぎの式で表される曲線$C$について以下の問いに答えよ．

$x=t-\sin t\text{，}y=1-\cos t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

(1)　曲線$C$の概形を描け．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　実数$x$に対し，$x$の整数部分を$[x]$で表す．$2$つの数列

$\{\begin{array}{ll}{a}_0=0& \\ a_n=9a_{\left[\frac{n}{3}\right]}+n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

$\{\begin{array}{ll}{b}_0=0& \\ b_n=9b_{\left[\frac{n}{2}\right]}+2012n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$A_n=a_{3^n}\text{，}{B}_n=b_{2^n}$とおく．$A_n\text{，}{B}_n$を$n$の式で表せ．

(2)　十分大きい自然数$n_0$を選べば，$n\geqq n_0$なる任意の自然数$n$に対して$b_{3^n}<a_{3^n}$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を求めよ．