2013　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　実数$a$に対して，$3$次方程式$x^3+a{x}^2-ax-1=0$は実数解をただ$1$つだけもつとする．この方程式の実数解は$x=\boxed{\text{ア}}$であり，$a$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=12\text{，}\mathrm{AC}=10\text{，}\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$であるとき，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めると$R=\boxed{\text{ウ}}$である．また，頂点$\mathrm{B}$から対辺$\mathrm{AC}$に引いた垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{C}$から対辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とし，垂線$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$と$\mathrm{FE}$の長さの日を求めると，$\mathrm{CF}:\mathrm{FE}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$1$個のサイコロを投げるという試行を繰り返す反復試行を考える．$2$回目以降の試行で「直前に投げて出た目よりも大きい目が出ること」が$2$回連続して起きたら，反復試行を終了する．ちょうど$3$回目の試行で反復試行が終了する確率を求めると$\boxed{\text{オ}}$であり，ちょうど$4$回目の試行で反復試行が終了する確率を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　$1<a<2$とし，関数$f(x)=|x^2-2ax+a^2-1|$を考える．

(1)　$a={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，曲線$y=f(x)$を座標平面上に図示せよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=1$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を$a$で表せ．

(3)　(2)における$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x$の関数$f(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x\text{（}-1\leqq x\leqq 2\text{）}$を考える．$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{ア}}$であり，$f(x)$の最小値を与える$x$の値は$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a$は実数とする．$x$の方程式$x^3+x^2+ax-a-2=0$は$a$の値によらない実数解をもち，その実数解は$x=\boxed{\text{ウ}}$である．また，この方程式が虚部が$2$の虚数解をもつとき，$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　放物線$y=x^2$上の点$(t,t^2)$と直線$y=2\sqrt{2}x-b$との距離を$d$とする．$d$を$t$と$b$で表すと$d=\boxed{\text{オ}}$であり，$b={\log }_{2}5$の場合，$t$を動かしたときの$d$の最小値を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$n$を$3$以上の整数とする．$n$色の異なる色の絵の具を用いて$1$つのサイコロの各面をいずれかの色で塗る．このとき，平行な面に同じ色を塗り，平行でない面に異なる色を塗る塗り方は$\boxed{\text{キ}}$通りある．また，平行な面に異なる色を塗る（平行でない面には異なる色を塗っても同じ色を塗ってもよい）塗り方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．

【２】　座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．この四面体の頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{3},0)$とし，$\theta =\angle \mathrm{CAB}$とする．また，$\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}$である．

(1)　${\mathrm{BC}}^2$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，頂点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$z$座標は正とする．

(3)　点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，(2)で求めた$\mathrm{C}$に対して${\mathrm{OD}}^2+{\mathrm{CD}}^2$を最小にする$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を考える．

(1)　$f(1)$を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f^{\prime }(0)$を計算せよ．

(3)　$0<x\leqq 3$のとき，$f^{\prime }(x)>0$が成り立つことを示せ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．