2013　南山大　経営学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=\boxed{\text{ア}}$である．また，$a^2-ab-b^2=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　実数$a\text{，}b$に対して，$3$次方程式$a{x}^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,b)=\boxed{\text{ウ}}$であり，この方程式の実数解は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$次方程式$a{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{5}}x-{\displaystyle \frac{12}{25}}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta \text{，}\cos \theta$であるとき，$a$の値は$\boxed{\text{オ}}$であり，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(-3,0)\text{，}\mathrm{C}(4,-1)$に対して，${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$であり，このとき$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a\cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}<a<\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y=b{x}^2\text{（}0<b<1\text{）}$および$C_3$がある．$C_3$は$C_2$上の点$(1,b)$を頂点とし，点$(0,b-1)$を通り，上に凸である．また，$C_1$と$C_3$は，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$を持ち，$\mathrm{A}$を通る共通の接線$l$を持つ．

(1)　$b$の値と$C_3$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の座標と$l$の方程式を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S$とし，$C_3\text{，}l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$S=T$が成り立つことを示せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の$6$人が正六角形のテーブルを囲んでいる．テーブルには各辺$1$つずつ合計$6$つのイスが用意されている．テーブルの頂点には$1$つおきに計$3$つのランプが置かれている．ランプの位置が重なるように回転して同じになる座り方は同じとみなす．このとき，$6$人の座り方は全部で$\boxed{\text{キ}}$通りあり，そのうち$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がランプをはさんで隣り合う座り方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　原点$\mathrm{O}$および点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を頂点とする$▵\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，辺$\mathrm{AO}$を$\alpha :1-\alpha \text{（}0<\alpha <1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{F}$が一直線上にあるとき，$\alpha =\boxed{\text{ケ}}$である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{HG}}=k\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を満たす実数$k$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$n$を自然数とする．項数が$n$である有限数列$\{a_k\}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を

$1\cdot 2\cdot n\text{，}2\cdot 3\cdot (n-1)\text{，}\cdots \text{，}k\cdot (k+1)(n-k+1)\text{，}\cdots \text{，}n(n+1)\cdot 1$

とする．次に，項数が$n$である有限数列$\{b_k\}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を

$1\cdot 1\cdot n\text{，}2\cdot 2\cdot (n-1)\text{，}2\cdot 2\cdot (n-1)\text{，}\cdots \text{，}k\cdot k\cdot (n-k+1)\text{，}\cdots \text{，}n\cdot n\cdot 1$

とする．また，項数が$n$である有限数列$\{c_k\}$は$a_k=b_k+c_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を満たす．

(1)　$n=4$のとき，$a_3\text{，}{b}_3$および$c_3$を求めよ．

(2)　$c_k$を$n$と$k$を用いて表せ．

(3)　$n=2013$のとき，$c_1\text{，}{c}_2\text{，}\cdots \text{，}{c}_{2013}$のなかで最大の値を求めよ．また，それが何番目の項であるかを答えよ．

(4)　$n=25$であるとして，${\displaystyle \sum _{k=1}^{25}}{c}_k$を求めよ．