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2013-14576-0301
2013 南山大学 数理情報学部A方式 2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) x の整式 x3+3 ⁢m⁢x 2+2⁢ (m2 -1) ⁢x-4 が ( x+2 )2 で割り切れるとする.このとき, m の値は m = ア であり,商は イ である.
2013-14576-0302
(2) 行列 A =( x+1 2- 5y- 2 ) がある. A2 =( 10 0 1 ) を満たすとき, x と y の値を求めると ( x,y) = ウ である.また, A が逆行列をもたないような 2 つの正の整数 x と y の値を求めると ( x,y) = エ である.
2013-14576-0303
(3) a は 1 ではない実数, k は 3 以上の整数とする.初項が a , 第 2 項が 1 の等差数列があり,その第 k 項を b とする. b を a と k で表すと b = オ である.この b に対して,初項が 1 , 第 2 項が a , 第 3 項が b の数列が等比数列になるとき, a を k で表すと a = カ である.
2013-14576-0304
(4) 曲線 C :y=log ⁡x 上の点 P ( 2,log⁡ 2) から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を Q とする. P における C の接線を l , P を通り l と垂直な直線を m とし, m と x 軸との交点を R とする.このとき, m の方程式を求めると y = キ である.また, ▵PQR の面積 S を求めると ク である.
2013-14576-0305
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
(5) 3 つのサイコロを同時に投げるとき,出た目の最大値が 6 となる確率は ケ であり,出た目の最大値と最小値の組が ( 6,1 ) となる確率は コ である.
2013-14576-0306
【2】 原点を O とする座標空間に 3 点 A ( 1,0, 0) ,B ( 0,2, 0) ,C ( 0,0, 3) がある.
(1) ▵ABC の面積を求めよ.
(2) A , B , C の定める平面を α とする. O から α に下ろした垂線と α との交点を H とするとき,
AH→ =s⁢ AB→ +t⁢ AC→
を満たすような実数 s , t の値を求めよ.また, H の座標を求めよ.
(3) 四面体 OABC に内接する球の半径 r を求めよ.
2013-14576-0307
【3】 2 つの関数 f ⁡(x ), g⁡ (x ) を
f⁡( x)= 1 1+ex ,g⁡ (x) =e x( 1+ex )2
とする.
(1) 導関数 f′ ⁡(x ) を求めよ.
(2) すべての x について g ⁡(- x)= g⁡( x) が成り立つことを示せ.
(3) a を正の定数とする.このとき,次の 2 つの定積分を求めよ.
∫ -aa x⁢ g⁡( x)⁢ dx , ∫-a a |x | ⁢g⁡( x)⁢ dx