2013　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}=4(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{ウ}}$であり，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${12}^5$は$\boxed{\text{キ}}$桁の数であり，${12}^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，扇形の中心角は$\boxed{\text{コ}}$度である．

【２】　曲線$C:y=x^2-4x+7$上の点$\mathrm{P}(a,a^2-4a+7)$における$C$の接線を$l_1$とする．また，$C$と$y$軸および$l_1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)　$l_1$の方程式を$a$で表せ．

(2)　$S$を$a$で表せ．

(3)　$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$l_1$と直交する直線を$l_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}S$であるとき，$l_2$の方程式を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　放物線$y=k{x}^2-2kx-2$の頂点の$y$座標が負の値をとるとき，実数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．さらに，この放物線が，関数$y=-|x|$のグラフとただ$1$つの共有点を持つとき，$k$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が$x=1-\sqrt{2}i$を解として持つとき，$b$を$a$で表すと$b=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$x=1$を解に持つ方程式$x^3+a{x}^2+bx-1=0$が虚数解を持つ条件を，$a$で表すと$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　不等式$2<{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^x<8$を満たす整数解の個数は，$\boxed{\text{オ}}$個である．また，それらの整数解のうち，不等式$x^2-(a+6)x+6a<0$を満たす解が$2$個であるとき，実数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　円形のテーブルの周りに$6$つの椅子がある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の男子$4$人と$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}\text{，}\mathrm{c}\text{，}\mathrm{d}\text{，}\mathrm{e}\text{，}\mathrm{f}$の女子$6$人のうち，男子$2$人と女子$4$が椅子に座るとき，その座り方は全部で$\boxed{\text{キ}}$通りである．そのうち，女子$1$人をはさんでその両隣に男子が座る座り方は$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　方程式$x^2+y^2+z^2-2x-4y+24z=20$が表す球面を$S$とする．$S$と$xy$平面の交わりは円になる．その円$C$の半径は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，原点を$\mathrm{O}\text{，}S$の中心を$\mathrm{P}\text{，}C$上の点を$\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{POQ}$が直角のとき，$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$がある．$\mathrm{P}$における$C$の接線に垂直で，$\mathrm{P}$を通る直線を$l_1$とし，$\mathrm{Q}$における$C$の接線に垂直で，$\mathrm{Q}$を通る直線を$l_2$とする．ここで，$l_1$と$l_2$は直交しているとする．その交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$p<0<q$とする．

(1)　$p$と$q$の積を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ，$p$と$q$の和を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{R}$の軌跡は放物線である．その方程式を求めよ．

(4)　$p=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$\mathrm{R}$の軌跡と$l_1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　正の整数のうち，$2$の倍数と$5$の倍数を小さい順に並べた数列を$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．最初の$7$項は$2\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}8\text{，}10\text{，}12$である．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(1)　$a_{15}\text{，}{a}_{32}$を求めよ．

(2)　$a_{6m}$を$m$で表せ$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

(3)　$S_{6m}$を$m$で表せ$\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

(4)　$S_n>1000$を満たす最小の$n$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)={(\log x)}^2-\log {\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2$を微分すると，$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ケ}}$であり，$f(x)-x{f}^{\prime }(x)=0$を満たす$x$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　正の実数$k$について，関数$f(x)=e^{-kx}+x$がある．$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$は$k$の関数であり，この関数を$g(k)$とする．

(1)　$g(k)$を求めよ．

(2)　$g(k)$の最大値$x_0$と，そのときの$k$の値$k_0$を求めよ．

(3)　$k=k_0$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸および$2$直線$x=x_0\text{，}x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．