2013　南山大　数理情報Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値はそれぞれ$0$または$1$とする．$x$の$3$次の整式

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

を$x^2+x$で割った余りが$x+1$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると$(a,b,c)=\boxed{\text{ア}}$であり，求めた$(a,b,c)$を代入した$P(x)$を$x+1$で割ったときの商は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2$次の正方行列$A\text{，}B\text{，}P$が

$A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)\text{，}AP=PB$

を満たしている．このとき，行列$A$を求めると$A=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$P$が逆行列をもつとき，$P{B}^2{P}^{-1}$を求めると$P{B}^2{P}^{-1}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，

$S_n={(n+1)}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と表されている．$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$n$で表すと$a_n=\boxed{\text{オ}}$である．また，${\displaystyle \sum _{n=1}^{11}}{\displaystyle \frac{1}{a_n{a}_{n+1}}}$の値を求めると${\displaystyle \sum _{n=1}^{11}}{\displaystyle \frac{1}{a_n{a}_{n+1}}}=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$\theta$の範囲を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$a=\sin 2\theta$とするとき，$a$を用いて$\sin \theta +\cos \theta$を表すと$\sin \theta +\cos \theta =\boxed{\text{キ}}$である．また，${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}=4$のとき，$\sin \theta +\cos \theta$の値を求めると$\sin \theta +\cos \theta =\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$3$つのサイコロを同時に投げる．出た目の最大値を$x$とし，最大の目が$2$つ以上出た場合は$y=x$とおき，そうでない場合は$y$を出た目の$2$番目に大きな値として，$2$桁の整数$N=10x+y$をつくる．$N=63$となる確率を求めると$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$N$が$7$の倍数となる確率を求めると$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(3,1,0)\text{，}\mathrm{B}(-2,2,0)\text{，}\mathrm{C}(p,q,r)\text{（}r>0\text{）}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}k=\cos \angle \mathrm{BOC}$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=4\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=8$を満たすとする．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$p\text{，}q\text{，}r$をそれぞれ$k$で表し，$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$k$の値が(2)で求めた範囲を動くとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

【３】　座標平面で，曲線$y=e^x$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$とで囲まれた部分を$D$とする．

(1)　$D$を座標平面に図示せよ．

(2)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V_0$を求めよ．

(3)　$D$を直線$y=1$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V_1$を求めよ．