2013　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

　サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．

(ⅰ)　$3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし，$2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．

(ⅱ)　各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．

　日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．

　第$2$戦で日本が優勝する確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$\boxed{\text{イ}}$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$\boxed{\text{ウ}}$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$\boxed{\text{エ}}$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=\boxed{\text{オ}}$となる．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_k=\boxed{\text{カ}}$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$\boxed{\text{キ}}$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=\boxed{\text{ク}}$となる．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{q}_n=\boxed{\text{ケ}}$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=\boxed{\text{コ}}$となる．

(1)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$k\text{，}t$を用いて表せ．ただし$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,q)$とする．$p\text{，}q\text{，}k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．

(3)　(2)で定まる$t_0$に対し，${\displaystyle {\int }_0^{t_0}}{\cos }^{4}tdt\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{t_0}}{\cos }^{6}tdt$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　(2)で定まる$p\text{，}q\text{，}k\text{，}{t}_0$に対し，$0\leqq x\leqq p$で曲線$S\text{，}$直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．