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2013-14861-0301
2013 同志社大学 文系学部2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) a ,b を正の定数とする.座標平面において, x2 +y2 +a⁢x +b⁢y =0 は中心を点 ( ア , イ ) とする半径 ウ の円の方程式である.サイコロを 2 度投げ,最初に出た目を a とし,次に出た目を b とする.この円の内部の面積が 4 ⁢π 以下である確率は エ である.また,この円が直線 x +y=a -b と異なる 2 点で交わる確率は オ である.
2013-14861-0302
(2) 2013 を素因数分解すると カ である. x = キ , y=0 は方程式 11 ⁢x+25 ⁢y= 2013 をみたす. x ,y を共に 0 以上の整数とするとき,方程式 11 ⁢x+25 ⁢y=2013 をみたす ( x,y ) の組は全部で ク 組あり,それらの中で x2+ y2 の値が最大になるのは x = ケ , y= コ のときである.
2013-14861-0303
【2】 3 次関数 f ⁡(x )=- 12 ⁢ x3+ 3 2⁢ x について次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフの概形を描け.
(2) | x| ≦2 における関数 y =f⁡ (x ) の最大値 M , および最小値 m を求めよ.
(3) 定数 k が m ≦k≦ M をみたすとき,直線 y =k と曲線 y =f⁡ (x ) の共有点の個数を調べよ.
(4) 定数 K が m ≦K≦M をみたすとき, sin3 ⁡θ+ cos3⁡ θ=K をみたす θ の個数を調べよ.ただし, - 34 ⁢ π≦θ ≦ 14⁢ π とする.
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【3】 ▵OAB において OA→ =a→ , OB→ =b → とする. 2 つの正の数 s , t に対して, OC→ =s⁢ a→ +t⁢ b→ となるように点 C を定める.また,線分 AC および線分 AB の中点をそれぞれ M , N とし,直線 OM および直線 ON が線分 AB と交わる点をそれぞれ P , Q とする. | a→ | =2 , | b→ |= 3 , a →⋅ b→ =5 のとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分 AB の長さ,および ▵OAB の面積 S 1 を求めよ.
(2) OP→ を a→ , b→ , s , t を用いて表せ.
(3) OQ→ を a→ , b→ , s , t を用いて表せ.
(4) ▵OPQ の面積を S 2 とする. S2 を s , t を用いて表せ.
(5) S2 =1 4⁢ S 1 となるための s , t の条件を求め, s ,t がその条件をみたしながら動くとき,点 C の存在する範囲を求めよ.