2013　同志社大　政策・文化情報・スポーツ健康科学部文系2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$k$を実数とし，$2$次関数$y=x^2+4kx+2k^2-2k+2$のグラフを$C$とする．その頂点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．$k$がすべての実数値をとって変化するとき，頂点$\mathrm{P}$の描く曲線の方程式は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，グラフ$C$と$x$軸が異なる$2$点で交わるための$k$の範囲は$k<\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}<k$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,-1,2)\text{，}\mathrm{B}(0,1,4)\text{，}\mathrm{C}(3,1,2)\text{，}\mathrm{P}(2,-1,7)$について$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}\cos \angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{キ}}$であるので，$▵\mathrm{ABC}$の面積は，$\boxed{\text{ク}}$である．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{P}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$の成分表示は$\boxed{\text{ケ}}$となる．よって四面体$\mathrm{ABCP}$の体積は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$は初項$a_1=8\text{，}$公比${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$の等比数列であるとする．また，数列$\{b_n\}$を関係式$b_n={\log }_{10}{a}_n$によって定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して，$b_{n+1}-b_n$の値を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおくとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの積$a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_n$を$d_n$とおく．正の整数$n$に対して，$d_n$が最大となる$n$の値を求めよ．ただし，$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$である．

【３】　$3$つの実数$a\text{，}b\text{，}c$が

$a+b+c=3\text{，}{a}^2+b^2+c^2=4\text{，}{a}^3+b^3+c^3=6$

をみたしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$ab+bc+ca$と$abc$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を解とする$x$の$3$次方程式$f(x)=0$のうち，$x^3$の係数が$1$であるものを求めよ．

(3)　$a^4+b^4+c^4$の値を求めよ．

(4)　(2)で定まる$3$次関数$f(x)$の極大値と極小値の積の値を求めよ．