2013　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　初項$a_1=1\text{，}$公差${\displaystyle \frac{2}{3}}$の等差数列$\{a_n\}$がある．数列$\{a_n\}$の項のうち，値が整数となる項を小さい方から順に並べてできる数列は等差数列をなし，初項は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$公差は$\boxed{\text{イ}}$となる．したがって$49$以下の$a_n$のうち整数とならない項の総和は$\boxed{\text{ウ}}$となる．次に初項$b_1=2\text{，}$公差${\displaystyle \frac{3}{2}}$の等差数列$\{b_n\}$を考える．$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$に共通に含まれる項を，小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とすると，数列$\{c_n\}$は等差数列となり，初項は$\boxed{\text{エ}}\text{，}$公差は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　関数$f(x)=e^{-x}\sin x+e^x\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は$x=\boxed{\text{カ}}$のとき極値をとる．したがって$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ク}}$をとり，$x=\boxed{\text{ケ}}$のとき最大値$\boxed{\text{コ}}$をとる．

【２】　$n$を$1$以上の整数とし，$\theta$を$0<\theta <2\pi$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$が$a_n=\cos (n\theta )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$がこの順に等比数列となるとき，$q^2$を$p$と$r$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$が等比数列となるような$\theta$の値を全て求めよ．

(3)　$1$以上の全ての整数$n$に対して$a_{n+3}=a_n$が成り立つような$\theta$の値を全て求めよ．

【３】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}11& -5\\ -3& 9\end{array}\right)$とする．行列$R\text{，}T$と実数$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$は

$R+T=E\text{，}aR+bT=A$（$E$は単位行列）

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$R=xA+yE\text{，}T=uA+vE$となる実数$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$RT=O$（$O$は零行列）となる$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　(2)で定まる$a\text{，}b$について$R\text{，}{R}^2$と$TR$をそれぞれ求めよ．

(4)　(2)で定まる$a\text{，}b$について$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．ただし$n$を自然数とする．

(1)　$x>0$のとき，不等式$e^x>1+x$が成り立つことを示せ．

(2)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

$e^x>1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

(3)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．