2013　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　面積が$10\sqrt{3}$で，$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{AC}=5$の鋭角三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき$\angle \mathrm{A}=\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}\text{，}\mathrm{BC}=\boxed{\text{イ}}$である．

　また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$が交わる点を$\mathrm{P}$とすると，$▵\mathrm{ABP}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$で，$▵\mathrm{ABP}$の内接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$は分母を有理化し，既約分数にすること．

【１】

(2)　水，お茶，スポーツドリンクの$3$種類の飲み物を売っている自動販売機で，$6$本の飲み物を購入する．購入しない飲み物があってもよいものとすると，購入の組合わせは$\boxed{\text{オ}}$通りある．一方，$3$種類の飲み物をそれぞれ少なくとも$1$本は購入しなければならないものとすると，購入の組合せは$\boxed{\text{カ}}$通りある．

　今，袋の中に水，お茶，スポーツドリンクの$3$種類の飲み物がそれぞれ$3$本ずつ，合計$9$本が入っており，この中から$3$本を取り出す．取り出さない飲み物の種類があってよいものとすると，取り出す組合せは$\boxed{\text{キ}}$通りある．

　ただし，$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$は整数で解答すること．

【１】

(3)　一辺の長さ$2$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2\overrightarrow{b}$とし，対角線$\mathrm{BE}$と対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$より$\angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{GAF}\text{，}\angle \mathrm{CBF}=\angle \mathrm{AGF}$だから$▵\mathrm{CBF}\backsim ▵\mathrm{AGF}$である．

　また，$▵\mathrm{CBF}\equiv ▵\mathrm{AGF}$だから$▵\mathrm{BAG}\backsim ▵\mathrm{AGF}$である．$▵\mathrm{BAG}$と$▵\mathrm{AGF}$の相似比は$1:\boxed{\text{ク}}$であり，$\mathrm{FG}$の長さは$\boxed{\text{ケ}}$である．

　したがって$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=(\boxed{\text{コ}})\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\boxed{\text{サ}})\overrightarrow{a}+(\boxed{\text{シ}})\overrightarrow{b}$

となる．

【２】　ある人は，製品$\mathrm{X}$と製品$\mathrm{Y}$がお気に入りであり，製品$\mathrm{X}$を$x\mathrm{g}$（グラム），製品$\mathrm{Y}$を$y\mathrm{g}$購入することによって得られる満足度$u$が，

$u=y-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-100)}^2\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

で表されるものとする．

　製品$\mathrm{X}$の$1\mathrm{g}$あたりの価格を$p$円（$p$は定数），製品$\mathrm{Y}$の$1\mathrm{g}$あたりの価格を$1$円とする．この人はお金$1000$円を持っている．そのお金のすべてを製品$\mathrm{X}$と製品$\mathrm{Y}$の購入に費やすとすると，$x$と$y$についての関係式$\boxed{\text{ス}}=1000$を得る．このとき，この人の満足度$u$を製品$\mathrm{X}$の購入量$x$で表すと，

$u=\boxed{\text{セ}}{x}^2+(\boxed{\text{ソ}})x-\boxed{\text{タ}}$

のようになる．この人の満足度$u$が最大となるような製品$\mathrm{X}$の価格$p$を購入量$x$で表すと，$x$と$p$についての関係式$p=\boxed{\text{チ}}$を得る．

　一方，企業において，製品$\mathrm{X}$を$x\mathrm{g}$生産するのにかかる費用$z$が，

$z={\displaystyle \frac{a}{3}}{x}^3+100$（$a>0$，$a$は定数）

で表されるとする．

　また，生産した製品$\mathrm{X}$がすべて売れるとすると，製品$\mathrm{X}$を生産している企業の利益$t$は，

$t=px-z$

と表される．

　企業は，利益$t$が最大となるように製品$\mathrm{X}$の生産量を決める．このときの製品$\mathrm{X}$の価格$p$を生産量$x$で表すと，$x$と$p$についての関係式$p=\boxed{\text{ツ}}$を得る．

　次に，$xp$平面上で$p=\boxed{\text{チ}}$と$p=\boxed{\text{ツ}}$の交点における$p=\boxed{\text{ツ}}$の接線が直線$p=\boxed{\text{チ}}$と垂直になるときの$a$の値は$\boxed{\text{テ}}$である．

　$a=\boxed{\text{テ}}$のとき，この交点における製品$\mathrm{X}$の生産量（購入量）は$\boxed{\text{ト}}\text{，}$価格は$\boxed{\text{ナ}}$である．

　さらに，直線$p=\boxed{\text{ナ}}$と，$a=\boxed{\text{テ}}$であるときの$p=\boxed{\text{ツ}}$と，$p$軸で囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$x^3+3x+14=0$の実数解の個数を求めよ．

(2)　$p\text{（}\ne 0\text{），}q$を実数とする$3$次方程式$x^3+3px+q=0$において$-4p^3-q^2$を$D$で表す．

　この方程式が，$1$つの実数解と$2$つの虚数解をもつとき，$D<0$であることを証明せよ．

(3)　$a$を実数とする$3$次方程式$x^3-3ax+a(a-3)=0$が，$1$つの実数解と$2$つの虚数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．