2013　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　図のように，頂点が$\mathrm{C}$である放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-4$と直線$y=mx\text{（}m<0\text{）}$の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$からなる$▵\mathrm{ABC}$の面積を$20$とする．このとき，$m$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

　次に放物線上で点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間に点$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$を$▵\mathrm{ABC}$の面積と$▵\mathrm{ABD}$の面積が等しくなるようにとるとき，$\mathrm{D}$の座標は$(\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$である．また，この放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-4$と直線$y=\boxed{\text{ア}}$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．さらに，$y$軸上を動く点$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PD}$の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めると，$(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$である．

【１】

(2)　次の方程式を満たすような$0$以上の二つの整数$x$と$y$を求めることを考える．

$x^2-2xy+2y^2-25=0\cdots \text{①}$

$\text{①}$を$x$についての$2$次方程式とみなすと，その解は$y$を用いて$x=\boxed{\text{キ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ク}}}$と表せる．これを満たす$(x,y)$の組は全部で$\boxed{\text{ケ}}$通りある．これらの$(x,y)$の組のなかで，$x$の値が最も大きい$(x,y)$の組は，$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})$と$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{シ}})$の$2$通りである．ただし，$\boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{シ}}$とする．

【１】

(3)　図のような$▵\mathrm{OAB}$がある．ただし，辺$\mathrm{OA}=2\sqrt{3}\text{，}$辺$\mathrm{OB}=\sqrt{3}\text{，}$辺$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$とする．$▵\mathrm{OAB}$の各頂点から対辺に向かって垂線$\mathrm{ON}\text{，}\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BM}$を引くと，$3$つの垂線は点$\mathrm{H}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる．

　また，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる．したがって線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{HN}$の長さの比を最も簡単な整数の比で表すと，$\mathrm{OH}:\mathrm{HN}=\boxed{\text{チ}}:\boxed{\text{ツ}}$となる．

【２】　小麦と鉄を原料として，小麦を鉄を生産する場合を考える．小麦$1$トンを生産するのに，小麦${\displaystyle \frac{1}{4}}$トンと鉄${\displaystyle \frac{1}{3}}$トンが必要であり，鉄$1$トンを生産するのに，小麦${\displaystyle \frac{1}{2}}$トンと鉄${\displaystyle \frac{1}{2}}$トンが必要である．原料の小麦と鉄は，生産の過程で使われ，生産に使う以外では減少することはない．また，生産のはじめの時点で，小麦が$10$トン，鉄が$12$トン存在している．

　これらこのことを前提にして，問いに答えよ．

(1)　小麦を$12$トン，鉄を$8$トン生産するとき，原料として使われる小麦の量は$\boxed{\text{テ}}$トンであり，原料として使われる鉄の量は$\boxed{\text{ト}}$トンである．

(2)　生産することができるためには，生産によって使われる小麦および鉄の量が，それぞれはじめに存在する小麦および鉄の量を超えてはならない．小麦を$x$トン，鉄を$y$トン生産するとき，使われる小麦の量が，はじめに存在する小麦の量である$10$トンを越えないための条件は，

$y\leqq -\boxed{\text{ナ}}x+\boxed{\text{ニ}}$

である．同様に，使われる鉄の量が，はじめに存在する鉄の量である$12$トンを越えないための条件は，

$y\leqq -\boxed{\text{ヌ}}x+\boxed{\text{ネ}}$

である．

(3)　生産の終了後に存在する鉄の量は，生産された鉄の量と，生産で使われずに残った鉄の量の合計である．それゆえ，小麦を$x$トン，鉄を$y$トン生産するとき，生産の終了後に存在する鉄の量が，$12$トン（はじめに存在した鉄の量）以上であるための条件は，

$y\geqq \boxed{\text{ノ}}x$

である．

(4)　生産が可能であり，かつ生産の終了後に$12$トン以上の鉄が存在するという条件のもとで，小麦の生産量を最大にするとき，小麦の生産量$x$トンと，鉄の生産量$y$トンはそれぞれ，

$x=\boxed{\text{ハ}}\text{，}y=\boxed{\text{ヒ}}$

となる．

【３】〔１〕　図１$‐\text{①}$，図２は，正方形の土地の各辺を$5$等分して作った東西（右左）に$6$本，南北（下上）に$6$本の道を表したもので，その上に図２は対角線$\mathrm{AB}$（道でない）を引いたものである．この道を通る経路について，以下の問いに答えよ．

(1)　図１$‐\text{①}$において，$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$を通って$\mathrm{B}$へ行く最短経路は何通りあるか．

(2)　図１$‐\text{②}$は，(1)の経路において，$\mathrm{E}$から$\mathrm{B}$へ行く経路を，図の点線を軸に対称移動させたものであり，$\mathrm{B}$は$\mathrm{C}$に移る．この図において，$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$を通って$\mathrm{C}$へ行く最短経路は何通りあるか．

(3)　図２において，対角線$\mathrm{AB}$より南側を通らないで，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く最短経路は何通りあるかを考える．図３$‐\text{①}$の太線は，対角線$\mathrm{AB}$より南側を通る経路の例を示している．この経路は，どこかで対角線$\mathrm{AB}$より南側の点線${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$と必ず交わる．交わった点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$から先の経路を，点線${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を軸に対称移動させたものが図３$‐\text{②}$の太線である．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く最短経路のうち，図３$‐\text{①}$の太線の例のように，対角線$\mathrm{AB}$より南側を通る最短経路は何通りあるか．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AB}$より南側を通らないで，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く最短経路は何通りあるか．

〔２〕　図４は，正方形の土地の各辺を$n$等分して作った東西（右左）に$(n+1)$本，南北（下上）に$(n+1)$本の道を表したものである．この道を通り，対角線$\mathrm{AB}$より南側を通らないで，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く最短経路は何通りあるか．