2013　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$1$組のトランプカードから，数字が$1$（エース）から$4$までのものだけを選び，$16$枚のカードの組をつくる．この$16$枚のカードから$4$枚を抜き取るとき，カードの組合せの総数は，$\boxed{\text{ア}}$通りである．抜き取った$4$枚の中に，数字が$1$のカードが$1$枚も含まれていない組合せの総数は$\boxed{\text{イ}}$通り，ハートのカードがちょうど$1$枚含まれている組合せの総数は$\boxed{\text{ウ}}$通り，$1$から$4$までの数字がちょうど$1$枚ずつ含まれる組合せの総数は$\boxed{\text{エ}}$通り，ちょうど$2$枚のカードの数字が一致し，他の$2$つは異なる組合せの総数は$\boxed{\text{オ}}$通りである．なお，答えはすべて整数で解答せよ．

【１】

(2)　$1$辺の長さ$2$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，点$\mathrm{P}$は毎秒$t$$\text{（}0<t<1\text{）}$で点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$まで辺$\mathrm{AE}$上を進み，点$\mathrm{Q}$は毎秒$s$$\text{（}0<s<1\text{）}$で点$\mathrm{F}$から点$\mathrm{G}$まで辺$\mathrm{FG}$上を進む．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2\overrightarrow{c}$とし，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$がそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{F}$を同時に出発する．

　出発$1$秒後には，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$はそれぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{b}+(\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{c}$

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\sqrt{t^2-\boxed{\text{ケ}}t+s^2+\boxed{\text{コ}}}$

となる．

　また，出発$2$秒後の点$\mathrm{P}$の位置から，辺$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{R}$を通って，点$\mathrm{Q}$の位置まで行くときの距離$\mathrm{PR}$と距離$\mathrm{RQ}$の和の最小値は

$\sqrt{\boxed{\text{サ}}{t}^2-\boxed{\text{シ}}t+\boxed{\text{ス}}{s}^2+\boxed{\text{セ}}s+\boxed{\text{ソ}}}$

である．

【１】

(3)　放物線$y=x^2-2x$上の異なる$2$点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，それぞれの$x$座標を$a\text{，}b$（ただし，$a<b$）とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{P}$とする．

　点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$\boxed{\text{タ}}\text{，}$点$\mathrm{B}$における接線の方程式は$\boxed{\text{チ}}$であるので，$2$つの接線の交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})$となる．

　直線$\mathrm{AB}$と放物線で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，$S_1$は$\boxed{\text{ト}}\text{，}{S}_2$は$\boxed{\text{ナ}}$となる．したがって，$S_1$と$S_2$の面積の比を最も簡単な整数の比で表すと$S_1:S_2=\boxed{\text{ニ}}:\boxed{\text{ヌ}}$となる．

【２】　太郎は，商品$\mathrm{A}$を$x\mathrm{d}l$（デシリットル），商品$\mathrm{B}$を$y\mathrm{d}l$購入することによって，

$u=xy\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

で表される心理的な満足度$u$を得る．太郎の所持金は$2400$円，商品$\mathrm{A}\text{，}$商品$\mathrm{B}$の単価（$1\mathrm{d}l$あたりの価格）はそれぞれ$400$円，$100$円である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　太郎が所持金$2400$円を全て使い切るとき，$x$と$y$について，

$y=-\boxed{\text{ネ}}x+\boxed{\text{ノ}}$

という関係式が成り立ち，$u$が最大になるのは，

$x=\boxed{\text{ハ}}$

のときである．

(2)　太郎が商品$\mathrm{A}$を購入するとき，$1\mathrm{d}l$あたり$100$円の補助金を受け取ることができるとする．太郎が補助金を含めた金額を全て使い切るとき，$x$と$y$について，

$y=-\boxed{\text{ヒ}}x+\boxed{\text{フ}}$

という関係式が成り立つ．このとき，$u$が最大になるのは，

$x=\boxed{\text{ヘ}}$

のときであり，太郎が受け取る補助金の総額は，$\boxed{\text{ホ}}$円である．

(3)　商品$\mathrm{A}$を購入するときに補助金を受け取らないとする．(2)の場合に太郎が受け取る補助金の総額$\boxed{\text{ホ}}$円に等しい金額を太郎に所持金として与えて，太郎の所持金を$(2400+\boxed{\text{ホ}})$円に増やし使い切るとき，$u$が最大になるのは，

$x=\boxed{\text{マ}}$

のときである．また，このときの$u$の最大値は，(2)の場合の$u$の最大値よりも，$\boxed{\text{ミ}}$だけ大きい．

【３】　$k\text{，}m$を自然数とする．$a_k$を$\sqrt{k}$を越えない最大の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_{2013}$の値を求めよ．

(2)　$1\leqq k\leqq 2013$かつ，$a_k=a_{2013}$を満たす自然数$k$の個数を求めよ．

(3)　$a_k=m$を満たす自然数$k$の個数を，自然数$m$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2013}}{a}_k$の値を求めよ．