2013　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{BC}=3\sqrt{2}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=45\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{BCD}=90\mathrm{°}$であるとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{ア}}\text{，}$対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　$x$の$2$次方程式$3x^2-10x+b=0$の$2$つの異なる解が${\log }_{3}a$と${\log }_{a}3$（ただし，$a>0\text{，}a\ne 1$）であるとき，$a=\boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エ}}$（$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$），$b=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(3)　初項$3\text{，}$公差$4$の等差数列$\{a_n\}$を考える．この数列$\{a_n\}$を次のように，第$n$群に$n$個の項を含むように分ける．

$3|7,11|15,19,23|27,\cdots$

　このとき，第$n$群の最初の項は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$第$n$群に含まれるすべての項の和は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(4)　$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いたカードが$1$枚ずつ，合計$5$枚のカードが箱に入っている．この箱から無作為にカードを$1$枚取り出し，カードの数字を記録して箱に戻す．この操作を$4$回繰り返すとき，次の確率を求めよ．ただし，答は既約分数にすること．

(a)　記録された$4$つの数の和が奇数となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

(b)　記録された$4$つの数の積が$6$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　放物線$C:y=-2x^2+8x-4$と$x$軸で囲まれた部分に，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$を頂点とする次のような長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$を考える．頂点${\mathrm{P}}_1$と頂点${\mathrm{P}}_4$は$x$軸上にあり，頂点${\mathrm{P}}_1$の座標を$(a,0)\text{，}$頂点${\mathrm{P}}_4$の座標を$(b,0)$（ただし，$a<b$）とする．また頂点${\mathrm{P}}_2$と頂点${\mathrm{P}}_3$は放物線$C$上にある．長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$を$D$と表すこととし，次の問いに答えよ．

(1)　$b$は$a$を用いて表すと$b=\boxed{\text{コ}}$となり，長方形$D$の面積$S_1$は$a$のみを用いて表すと，$S_1=\boxed{\text{サ}}$となる．

　したがって，面積$S_1$は，$a=\boxed{\text{シ}}$のとき最大となり，その値は$\boxed{\text{ス}}$である．このとき，長方形$D$の辺${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さは$\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　次に辺${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とし，$S_1=S_2$となる場合を考える．

　$S_2$は，$S_2=(b-a)\times \boxed{\text{ソ}}$と表すことができる．ただし，$\boxed{\text{ソ}}$は$a$のみを用いて表すものとする．

　したがって$S_1=S_2$となるのは，$a=\boxed{\text{タ}}$のときであり，このとき長方形$D$の面積$S_1$は$\boxed{\text{チ}}\text{，}$長方形$D$の辺${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さは$\boxed{\text{ツ}}$である．

【３】　座標空間において，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$をとり，点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線と$▵\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OAC}\text{，}▵\mathrm{OAB}$の面積をそれぞれ，$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$とする．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めると，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{テ}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S_1$は$\boxed{\text{ト}}$となる．

　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$はある実数$s\text{，}t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\boxed{\text{ナ}}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すことができる．ここで$s\text{，}t$の値を求めることにより，$\mathrm{H}$の座標は$\boxed{\text{ニ}}$となる．

　次に$\angle \mathrm{AOH}\text{，}\angle \mathrm{BOH}\text{，}\angle \mathrm{COH}$の大きさをそれぞれ，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．ベクトル$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{u}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は$\overrightarrow{u}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{ヌ}}\overrightarrow{u}$と表すことができる．

　また，$4$つの三角形の面積$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$の比を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて表せば，$S_1:S_2:S_3:S_4=1:\boxed{\text{ネ}}:\boxed{\text{ノ}}:\boxed{\text{ハ}}$である．

【４】　座標平面上の$2$つの放物線

$C_1:y=f(x)=x^2+2x+2$

$C_2:y=g(x)=x^2-2x+2$

と$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,0)$を考える．まず点$\mathrm{A}$から$C_1$へ引いた$2$本の接線を考え，$C_1$上の$2$つの接点のうち，$x$座標の小さい方を$\mathrm{P}(p,f(p))$とする．次に，点$\mathrm{A}$から$C_2$へ引いた$2$本の接線を考え，$C_2$上の$2$つの接点のうち，$x$座標の大きい方を$\mathrm{Q}(q,g(q))$とする．さらに，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$および$\mathrm{S}$とする．

　放物線$C_1\text{，}{C}_2$および線分$\mathrm{PR}\text{，}\mathrm{RS}\text{，}\mathrm{SQ}$によって囲まれる図形の面積$M$が$f(a)\text{，}g(a)$のみを用いた式で表されることを示す．

(1)　定積分$M_1={\displaystyle {\int }_p^0}f(x)dx$を求めると，$M_1=\boxed{\text{ヒ}}$となる．また，定積分$M_2={\displaystyle {\int }_0^q}g(x)dx$を求めると，$M_2=\boxed{\text{フ}}$となる．

(2)　次に，$p$と$a$についての関係式は，$\boxed{\text{ヘ}}=0$と表される．同様に，$q$と$a$についての関係式は，$\boxed{\text{ホ}}=0$と表される．$p\text{，}q$を$a$を用いて表すと，

$p=\boxed{\text{マ}}-\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}$

$q=\boxed{\text{ム}}+\sqrt{\boxed{\text{メ}}}$

となる．

(3)　ここで，$M_1=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{ヘ}}=0$であることより，$M_1$を$p$の$1$次式として表せば，

$M_1=\boxed{\text{モ}}p-(\boxed{\text{ヤ}})$

となる．同様に$M_2=\boxed{\text{フ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}=0$であることより，$M_2$を$q$の$1$次式として表せば，

$M_2=\boxed{\text{ユ}}q-(\boxed{\text{ヨ}})$

となる．ただし，$\boxed{\text{モ}}$と$\boxed{\text{ユ}}$はそれぞれ$f(a)\text{，}g(a)$を用いて表し，$\boxed{\text{ヤ}}$と$\boxed{\text{ヨ}}$は$a$の$2$次式で表すものとする．

(4)　また，$f(a)$と$g(a)$の和を$a$のみで表すと，$f(a)+g(a)=\boxed{\text{ラ}}$となる．したがって，$M$を$f(a)$と$g(a)$のみを用いた式で表すと，

$M=\boxed{\text{リ}}$

となる．