2013　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施

【１】　$r$を$1$でない正の実数，$n$を自然数とし，

$S_n^{(1)}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{r}^k\text{，}{S}_n^{(2)}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{r}^k\text{，}{S}_n^{(3)}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2{r}^k$

とする．このとき，

(1)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S_{10}^{(1)}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$にはそれぞれ$1$つの整数が入り，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$が既約分数になるものとする．

(2)　$S_n^{(2)}-{\displaystyle \frac{d{S}_{n+1}^{(1)}}{dr}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{1-r}}$である．（ただし，$\boxed{\text{ウ}}$は$r$と$n$のみを使った式とする．）

(3)　$S_n^{(3)}-r{S}_n^{(3)}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{k^2-{(k-1)}^2\}{r}^k-\boxed{\text{エ}}$

$=\boxed{\text{オ}}{S}_n^{(2)}-S_n^{(1)}-\boxed{\text{エ}}$

である．同様にして，$S_n^{(2)}-r{S}_n^{(2)}=S_n^{(1)}-\boxed{\text{カ}}$となる．ただし，$\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{カ}}$は，$S_n^{(1)}\text{，}{S}_n^{(2)}\text{，}{S}_n^{(3)}$を使わない式とする．よって

$S_n^{(3)}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{{(1-r)}^2}}{S}_n^{(1)}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{{(1-r)}^2}}{r}^{n+1}$

と書けることがわかる．ここで，$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}$は$r$と$n$のみを使った式である．したがって，$r<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n^{(3)}=\boxed{\text{ケ}}$となる．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^N}{a^x}}=0$（$N$は自然数，$a>1$）を使ってもよい．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数としたとき，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

を考え，$\Delta =ad-bc$とする．また，$A$が定める$1$次変換を$f$と呼ぶことにする．$f$によって原点$\mathrm{O}$とは異なるひとつの点$\mathrm{P}(x_1,x_2)$が点$(-x_1,-y_n)$に移されるとする．このとき，連立一次方程式

$\{\begin{array}{l}\boxed{\text{コ}}x+by=0\\ cx+\boxed{\text{サ}}y=0\end{array}$

は，$x=y=0$以外の解$x=x_1\text{，}y=y_1$をもつことになる．このことから，$\Delta =\boxed{\text{シ}}$となることが分かる．ここで，$\boxed{\text{シ}}$は$a\text{，}d$のみの式である．

　さらに，点$\mathrm{P}$の成分$x_1\text{，}{y}_1$について$x_1=y_1$の関係が成り立つとすると，$A$は次のようになる．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& \boxed{\text{ス}}\\ c& \boxed{\text{セ}}\end{array}\right)$

ただし，$\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$は$a\text{，}c$のみの式とする．

　さらに，どの点$\mathrm{Q}$に対しても，$1$次変換$f$による像${\mathrm{Q}}^{\prime }=f(\mathrm{Q})$について，$\mathrm{OQ}={\mathrm{OQ}}^{\prime }$となるとすると，$A=\boxed{\text{ソ}}$または$A=\boxed{\text{タ}}$となり，いずれの場合も$A^2+\boxed{\text{チ}}A+\boxed{\text{ツ}}E=O$が成り立つ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とし，$\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$は実数である．

【３】　曲線$y=x^3-x$と直線$y=x$は相異なる$3$つの交点をもち，それらの座標は，$\mathrm{A}(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})\text{，}\mathrm{O}(\boxed{\text{ナ}},\boxed{\text{ニ}})\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$である．ただし，$\boxed{\text{テ}}<\boxed{\text{ナ}}<\boxed{\text{ヌ}}$であるとする．そこで，線分$\mathrm{OB}$と曲線$y=x^3-x$で囲まれた図形を，直線$y=x$のまわりに一回転してできる立体の体積$V$を求めよう．まず，曲線$y=x^3-x$上の点$\mathrm{P}(x,x^3-x)$から直線$y=x$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PQ}=h\text{，}\mathrm{OQ}=t$とおく．このとき，直線$\mathrm{PQ}$と曲線$y=x^3-x$は，点$\mathrm{P}$のみで交わる．したがって，$h$と$t$は$x$を使って$h=\boxed{\text{ノ}}\text{，}t=\boxed{\text{ハ}}$と書きあらわせて，${\displaystyle \frac{dt}{dx}}=\boxed{\text{ヒ}}$となる．従って，

$V=\pi {\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{フ}}}^{\boxed{\text{ヘ}}}}{h}^{2}dt=\boxed{\text{ホ}}$

となる．

【４】　図のように東西，南北にそれぞれ$7$本の道がある．隣り合う交差点間の距離は全て等しいものとする．これらの道を通って遠回りせずに行く道順を考える．

(1)　$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんが，それぞれ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から同時に出発し，$\mathrm{X}$君は$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{Y}$さんは$\mathrm{A}$へ向かうとする．また二人は同じ速さで進むものとする．このとき，二人が$\mathrm{C}$で出会う道順は全部で$\boxed{\text{マ}}$通りである．さらに二人が途中で出会う可能性のある交差点は，全部で$\boxed{\text{ミ}}$地点ある．したがって，二人が途中で出会う道順は全部で$\boxed{\text{ム}}$通りある．

(2)　次に，$\mathrm{Z}$君が$\mathrm{A}$においてサイコロを投げ，奇数の目が出たときは東に一区間進み，偶数の目が出たときは北に一区間進むものとする．次の交差点で再びサイコロを投げ，同じ規則で東，または北に進む．同様のことを繰り返して，合計$6$区間進んだとする．このとき，$\mathrm{Z}$君が$\mathrm{R}$にいる確率は$\boxed{\text{メ}}$である．また，$6$区間進む間に，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の全てを通る確率は$\boxed{\text{モ}}$であり，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$のいずれも通過しない確率は$\boxed{\text{ヤ}}$である．よって，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の少なくとも$1$つを通過する確率は$\boxed{\text{ユ}}$である．