2013　立命館大　情報理工学部2月8日実施MathJax

【１】　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$にそれぞれ白玉$1$個，赤玉$3$個，合計$4$個ずつ入っている．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からそれぞれ無作為に玉を$1$個取り出し，交換して，箱に入れる．この操作を$n$回繰り返した後，箱$\mathrm{A}$に白玉$1$個，赤玉$3$個が入っている確率を$P(n)$とする．

(1)　$P(1)=\boxed{\text{ア}}$

(2)　操作を$n$回（$n\geqq 1$）繰り返した後，箱$\mathrm{A}$の白玉の個数は$\boxed{\text{イ}}$個，$\boxed{\text{ウ}}$個，$\boxed{\text{エ}}$個の$3$通りの場合がある．（ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$とする．）

　$(n+1)$回目の操作の後，箱$\mathrm{A}$に白玉$1$個，赤玉$3$個が入っている確率は，上記の場合分けに対応して，

$\boxed{\text{イ}}$個のとき，$\boxed{\text{オ}}$である．

$\boxed{\text{ウ}}$個のとき，$\boxed{\text{カ}}$である．

$\boxed{\text{エ}}$個のとき，$\boxed{\text{キ}}$である．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$P(n+1)$を，$P(n)$を用いて表すと$P(n+1)=\boxed{\text{ク}}$である．

　(1)と合わせ，$P(n)$を$n$を用いて表すと，$P(n)=\boxed{\text{ケ}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$と表される．

【２】　自然数$N$が異なる$2$つの素数$a\text{，}b$により$N=a^m{b}^n$（$m\text{，}n$：正の整数）と表されるとする．

(1)　$N$の約数の個数は$\boxed{\text{コ}}$である．また，全ての約数の和$S$は$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{a-1}}\times {\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{b-1}}$と表される．（ただし，$\boxed{\text{サ}}$は$a$の式，$\boxed{\text{シ}}$は$b$の式とする．）

(2)　自然数$N$において，$S=2N$となる数を考える．$a=2$の場合，$b$について整理すると，$b^{n+1}+\boxed{\text{ス}}{b}^n+\boxed{\text{セ}}=0$が成立する．$n=1$の場合には，$b=\boxed{\text{ソ}}$と求まる．この場合，$N$は$m$を用いて$N=\boxed{\text{タ}}$と書ける．いま，$N<1000$であるとすると，$N=\boxed{\text{タ}}$の形で表される数は$\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}\text{，}\boxed{\text{テ}}$である．

【３】

(1)　$x\text{，}y$を未知数とする連立方程式を次のように行列を用いて表現する．ただし$a\text{，}b$は実数とする．

$\left(\begin{array}{cc}a-1& 1\\ 5& a+3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ b^2+2b\end{array}\right)\cdots$(＊)

　この連立方程式(＊)が$1$組の解を持つための必要十分条件は$\boxed{\text{ト}}\ne 0$である．このとき，$b=-1$とすると，解は，$x=\boxed{\text{ナ}}\text{，}y=\boxed{\text{ニ}}$である．

　また，連立方程式(＊)が解を無数に持つ場合，$a$の値は$\boxed{\text{ヌ}}$であり，$b$の値は小さい方から$\boxed{\text{ネ}}\text{，}\boxed{\text{ノ}}$である．このときの解は$y=\boxed{\text{ハ}}$を満たすすべての$x\text{，}y$の組み合わせとなる．

(2)

$A=\left(\begin{array}{cc}a-1& 1\\ 5& a+3\end{array}\right)$

について，$a$の値が$\boxed{\text{ヌ}}$であるとき，その行列を$B$とする．行列$B$で表される一次変換$f$において，直線$y=5x+2$上の点は$\boxed{\text{ヒ}}$に移る．また原点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,5)$により構成される三角形$\mathrm{OPQ}$が一次変換$f$によって移る図形の面積は$\boxed{\text{フ}}$である．

【４】　関数$f_n(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}\text{（}x>0\text{）}$について次の問いに答えよ．ただし$n$は自然数，対数の底は$e$とする．

(1)　${f_n}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{x^{n+1}}}$である．よって曲線$y=f_n(x)$は，$x$の値が$\boxed{\text{ホ}}$のとき，極大値$\boxed{\text{マ}}$をとる．

　また，$\underset{n\to \infty }{\lim }\boxed{\text{ホ}}=\boxed{\text{ミ}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }\boxed{\text{マ}}=\boxed{\text{ム}}$となる．

(2)　$x$についての方程式$a{x}^3=\log x$の実数解が$2$個となる$a$の範囲は$\boxed{\text{メ}}<a<\boxed{\text{モ}}$である．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x^n}}=0$を用いてよい．

(3)　$t>0$とする．${\displaystyle {\int }_t^{t+1}}{f}_1(x)dx=\boxed{\text{ヤ}}$であり，${\displaystyle {\int }_t^{t+1}}{f}_1(x)dx=0$となる$t$の値は$\boxed{\text{ユ}}$である．