2013 関西大 理系学部2月2日実施

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2013 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月2日実施

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易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= x3-6 x2 +9x を考える.次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) のグラフの概形を解答用紙の の欄にかけ.

(2)  a を定数とする.直線 y =ax と曲線 y =f( x) が, x>0 において異なる 2 つの共有点をもつときの a の範囲を求めよ.また,そのときの共有点の x 座標を α β 0<α< β とするとき, β=2 α となるように a の値を定めよ.

(3)  a は(2)において β =2α となるように定めた値とする.このとき,直線 y =ax と曲線 y =f( x) で囲まれる 2 つの図形の面積の和を求めよ.

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【2】  n を自然数とする. x の関数

fn ( x)= k=0 n (x- k) 2=x 2+ (x- 1) 2+ (x- 2)2 ++ (x -n) 2

に対して,次の   をうめよ.ただし, の解答は因数分解した n の式で答えよ.

  fn (x ) の導関数 fn (x ) は, x 1 次関数

fn ( x)= x-

である.これより x = のとき, fn (x ) は最小値 をとる.この最小値を a n とすると,

k=1 na k=a 1+a 2+a 3+ +an=

である.また

k=1 n 1ak = 1a1 +1 a2+ 1a 3+ 1 an= ( n+1) (n+ 2)

だから,無限級数 n= 1 1an の和は, である.

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【3】  a を正の定数とする.自然数 n に対して,座標平面上の点 An B n を以下の(ⅰ)〜(ⅳ)を満たすように定める.

(ⅰ)  A1 の座標は ( a,0 ) である.

(ⅱ)  An B n x 座標は等しい.

(ⅲ)  Bn は双曲線 y =1 x 上の点である.

(ⅳ)  A n+1 y =1 x Bn における接線と x 軸の交点である.

 次の問いに答えよ.

(1)  y= 1x B 1 における接線の方程式を求めよ.

(2)  A n B n の座標を求めよ.

(3)  A nB nA n+1 x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V n とおく. Vn を求めよ.

(4) 無限級数 n =1 Vn の和を求めよ.

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【4】 次の   をうめよ.

(1) 不等式 log2 (x- 1)+ log12 ( 2-x) <0 を解くと, となる.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  π 4<θ < π2 の範囲で定義された関数 34 tan θ+ 1tan 2θ tan θ= のとき,最小値 をとる.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)  ABC の辺 BC 2 :1 に内分する点を P とし,線分 AP ( 1-t) :t 0<t< 1 に内分する点を Q とする.等式

4AQ + BQ+ 2CQ = 0

が成り立つとき, t の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  A=( 1 22 1 ) とし,自然数 n に対して An= ( an bn bn an ) とおく. an n を用いて表すと である.