2013　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を解答用紙の$\boxed{\text{①}}$の欄にかけ．

(2)　$a$を定数とする．直線$y=ax$と曲線$y=f(x)$が，$x>0$において異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の範囲を求めよ．また，そのときの共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}0<\alpha <\beta \text{）}$とするとき，$\beta =2\alpha$となるように$a$の値を定めよ．

(3)　$a$は(2)において$\beta =2\alpha$となるように定めた値とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=f(x)$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を求めよ．

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(x-k)}^2=x^2+{(x-1)}^2+{(x-2)}^2+\cdots +{(x-n)}^2$

に対して，次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\text{④}\text{，}\text{⑤}\text{，}\text{⑥}$の解答は因数分解した$n$の式で答えよ．

　$f_n(x)$の導関数${f_n}^{\prime }(x)$は，$x$の$1$次関数

${f_n}^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}x-\boxed{\text{②}}$

である．これより$x=\boxed{\text{③}}$のとき，$f_n(x)$は最小値$\boxed{\text{④}}$をとる．この最小値を$a_n$とすると，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=\boxed{\text{⑤}}$

である．また

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+{\displaystyle \frac{1}{a_3}}+\cdots {\displaystyle \frac{1}{a_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{(n+1)(n+2)}}$

だから，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$の和は，$\boxed{\text{⑦}}$である．

(ⅰ)　${\mathrm{A}}_1$の座標は$(a,0)$である．

(ⅱ)　${\mathrm{A}}_n$と${\mathrm{B}}_n$の$x$座標は等しい．

(ⅲ)　${\mathrm{B}}_n$は双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上の点である．

(ⅳ)　${\mathrm{A}}_{n+1}$は$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の${\mathrm{B}}_n$における接線と$x$軸の交点である．

　次の問いに答えよ．

(1)　$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の${\mathrm{B}}_1$における接線の方程式を求めよ．

(2)　${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n$の座標を求めよ．

(3)　$▵{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とおく．$V_n$を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$の和を求めよ．

$4\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{0}$

が成り立つとき，$t$の値は$\boxed{\text{④}}$である．