2013　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　円$x^2+y^2=1$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$の共有点は$2$つあり，その$x$座標はそれぞれ$\boxed{\text{①}}$と$\boxed{\text{②}}$である．ただし，$\boxed{\text{①}}<\boxed{\text{②}}$とする．

(2)　$a$を実数とするとき，円$x^2+y^2=1$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+a$が共有点をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=1$上を動くとき，点$\mathrm{P}$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$との距離が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{④}},\boxed{\text{⑤}})$であり，そのときの距離は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{5}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$が次のように定められている．

$a_1=s\text{，}{a}_2=t\text{，}{a}_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$s\ne 0$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-2a_n$とおくと，すべての自然数$n$について

$b_{n+1}=\boxed{\text{①}}\cdot b_n$

が成り立つ．よって，一般項$b_n$を$s$と$t$を用いて表すと$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$s=3\text{，}t=6$のとき，一般項$a_n$は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　数列$\{a_n\}$が等比数列であるとき，$t$は$s$を用いて$t=\boxed{\text{④}}$ と表される．

(4)　$s=3\text{，}t=8$とする．(1)で定められた数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$は$\boxed{\text{⑤}}$である．$b_n=a_{n+1}-2a_n$であるので，$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^{n-1}}}$とおくと，一般項$c_n$は$\boxed{\text{⑥}}$である．したがって，一般項$a_n$は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，各辺の長さが$\mathrm{AB}=x+1\text{，}\mathrm{BC}=3x-3\text{，}\mathrm{CA}=6$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\cos A=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$x$の値を求めよ．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．