2013 関西大 理系学部2月5日実施

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2013 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数の定数とする.関数 f (x )=x x+ a x 1x 4 があり, f (2) =0 である.また,曲線 y =f( x) 上に 2 A ( 1,f (1 )) B ( 4,f (4) ) をとる.次の問いに答えよ.

(1)  a の値を求めよ.

(2)  f( x) の増減表を書き,極値を求めよ.

(3) 曲線 y =f (x ) の概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,そのグラフには 2 A B の座標や極値を記入すること.

(4) 座標平面上の原点を O とする.曲線 y =f (x ) と直線 x =4 x 軸,および線分 OA で囲まれた図形の面積を求めよ.

2013 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

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2013年関西大理系学部2月5日実施【2】の図

【2】  ABC があり, AB BC =- 2 BC CA =-3 CA AB =-4 である. AB =b AC =c とおく.次の   を数値でうめよ.

(1)  b c = | b |= | c |= である.

(2)  p q を実数の定数とする. ABC の外心を O とし, AO =p b +q c とおく.辺 AB の中点を M とすると, OMAM であることから

p+4 q=3

である.さらに,辺 AC の中点を N とし, ON AN との関係を考えることにより

p= q=

と求められる.

(3) 辺 AB を直径とする円と辺 AC との交点のうち A でない方を D BC との交点のうち B でない方を E とすると

AD = c AE = b+ c

である.また, BD AE の交点を H とすると

AH = b + c

である.

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【3】  a b を実数の定数とする. O を原点とする座標平面上に, 2 A ( a,0 ) B (0 ,b) があり,線分 AB 1 :3 に内分する点を P ( x,y ) とする. 2 A B が, AB=4 を満たしながら動くときの点 P の描く軌跡は楕円である.この楕円を C とし,楕円 C 2 つの焦点を F F とする.ただし,焦点 F x 座標を正とする.次の   をうめよ.

(1) 楕円 C の方程式は

x 2 +y2 =

である.

(2) 焦点 F F の座標はそれぞれ ( , 0) ( - ,0 ) であり

PF+PF =

である.

(3)  OP=k とすると, PF2 +PF 2 PF PF はそれぞれ k を用いて

PF2 +PF 2= PFPF =

と表すことができる.

 よって, FPF =α 0α< π とすると, cosα k を用いて

cosα =-1- 2

と表されるので, cosα のとりうる値の範囲は である.

(4) 直線 y =1 33 x と楕円 C 2 つの交点の x 座標は である.また,楕円 C x 0 y 0 の部分と直線 y =1 33 x および x 軸で囲まれた図形の面積は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  1 個のさいころを 2 回投げたとき,出た目を順に a b とする. P=( a-2) (b -2) とするとき, P=0 となる確率は であり, P>0 となる確率は である.また, P>2 となる確率は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2) 数列 { an }

a1 =-1 3 an +1= 2an -2

を満たしている.数列 { an } の一般項は an= である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)  c を実数の定数, - π2< α< π2 - π2< β< π2 とし, 2 次方程式 x2-4 cx +1-3 c=0 は異なる 2 つの実数解 tan α tan β をもつとする.このとき, c の値の範囲は であり, tan( α+β ) の値は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  a を実数の定数とする. 2 つの 2 次不等式

x2- x-6 0 (A) x2- (2 a-3) x+a 2-3 a-10 0 (B)

がある.不等式(A)を満たすすべての x が不等式(B)を満たすような a の値の範囲は であり,不等式(A)と不等式(B)を同時に満たす x が存在するような a の値の範囲は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5)  k を実数の定数, A=( 3 22 0 ) とする.

A( x y )=k ( xy )

を満たす x =y=0 の実数 x y が存在するような k の値は である.また, A が表す 1 次変換によって平面上の 2 ( m,n ) (n ,m) が移された点と原点 ( 0,0 ) 3 点を頂点とする三角形の面積が 16 になるような正の整数 m n の組は ( m,n )= である.ただし, m>n とする.