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2013-14991-1001
2013 関西大学 全学部日程・センター中期
社会安全・システム理工・環境都市工
・化学生命工学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= ex- e-x ex +e- x を考える.次の問いに答えよ.
(1) 次の をうめよ.
f⁡( x) の導関数を求めると, f′⁡ (x) = ① ( e2⁢ x+1 )2 となり,第 2 次導関数を求めると, f″⁡ (x) = ② ( e2x +1) 3 となる.
(2) 曲線 y =f⁡( x) の変曲点を求めよ.
(3) a>0 のとき,曲線 y =f⁡( x) と x 軸および直線 x =a で囲まれる図形の面積 S ⁡(a ) を求めよ.
(4) lima →∞ S ⁡(a )a を求めよ.
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【2】 次の をうめよ.
m を 0 でない定数とし,点 P ( 1,0 ) を直線 l :y=m ⁢x に関して対称移動した点を Q ( a,b ) とおく.このとき, b a-1 ⋅ m の値は ① である.また,線分 PQ の中点は l 上にあることから, b を a と m を用いて表すと ② である.よって, a ,b を m で表すと, a= ③ ,b = ④ となる.さらに,点 R ( 0,1 ) を l に関して対称移動した点を S とおき, S の座標を m で表すと, x 座標は ⑤ ,y 座標は ⑥ となる.このとき,
T=( ③ ⑤ ④ ⑥ )
とおく. m=tan⁡ θ とおくと, T の ( 1,1 ) 成分は cos ⁡ ⑦ で, T2 を計算すると ⑧ となる.
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【3】 座標平面上の半円 C :(x - 12 )2 +y2 = 14 ( y≧0 ) 上に原点 O と異なる点 P をとる. x 軸の正の部分と OP のなす角を θ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OP の長さと P の座標を, θ を用いて表せ.
(2) P の x 座標と y 座標の和が最大になるときの P の座標を求めよ.
(3) (2)で求めた点 P に対して,線分 OP と半円 C および x 軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
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【4】 次の をうめよ.
(1) a を 1 より大きい定数とする.方程式 ax+ a-x =3 を満たす正の解 x を求めると, x=log a⁡ ① 2 となる.
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(2) 3 つのサイコロを同時に投げたとき,出た目の和が 7 となる確率は, ② である.
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(3) x100 を (x- 1) 3 で割ったとき,余りである多項式の最高次の項の係数は, ③ である.
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(4) 実数 α , β に対して, α と β が交互に現れる数列 α , β ,α , β ,α , ⋯ の第 n 項を a n とする. Sn= ∑ k=1 n⁡ ak とおくとき, limn →∞ S nn = ④ である.
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(5) 無限級数 ∑n =2∞ log⁡ n2- 1n2 の和は, log⁡ ⑤ である.