2013　関西大　全学部日程総合情報学部2月8日実施MathJax

$f(x)=x^n-nx+n+1$

とする．ただし，$n\geqq 2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$を簡単にせよ．

(2)　$f(x)$は$(x-1)$で割り切れることを示し，その商の多項式$g(x)$を求めよ．

(3)　$g(x)$は$(x-1)$で割り切れることを示し，その商の多項式$h(x)$を求めよ．

$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax-12a^2+4$

の$0\leqq x\leqq 2$における最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$s$は$0<s<1$を満たす実数とする．$\mathrm{AR}:\mathrm{RQ}=s:(1-s)$であるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は$s$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{①}}$

と表すことができる．

(2)　$t$は$0<t<1$を満たす実数とする．$\mathrm{BR}:\mathrm{RP}=t:(1-t)$であるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{②}}$

と表すことができる．

(3)　(1)，(2)より，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のみを用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{③}}$

となる．

(4)　ここで，$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とするとき，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比は，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=\boxed{\text{④}}$となる．

　放物線$C:y=x^2-4x+5$と$k$を定数とする直線$l:y=x+k$がある．

　放物線$C$と直線$l$が相異なる$2$点で交わるとき，$k$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{①}}$である．

　$k$が$\boxed{\text{①}}$を満たすとき，相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(\alpha ,\alpha +k)\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標を$\mathrm{Q}(\beta ,\beta +k)$とするとき，

$\alpha +\beta =\boxed{\text{②}}$

$\alpha \beta =\boxed{\text{③}}$

となる．

　線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{④}}$と表すことができ，原点$\mathrm{O}$から直線$l$に下ろした垂線の長さ$h$は，$h=\boxed{\text{⑤}}$と表すことができる．これらのことより，$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S$は，$S=\boxed{\text{⑥}}$と表すことができ，$S={\displaystyle \frac{3}{2}}$となるときの$k$の値は，$k=\boxed{\text{⑦}}$となる．