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2013-14991-1401
2013 関西大学 後期
法・文・経済・商・
社会・政策創造・総合情報学部
3月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.
関数 y =x+ |x -1 | のグラフと関数 y =( x-1) 2 のグラフは 2 つの共有点 P ( a,b ) と Q ( c,d ) をもつ.ただし, a<c とする. 2 点の座標を求めると, P の座標は ① であり, Q の座標は ② である.この 2 つの関数のグラフで囲まれる領域を D とする.すなわち, D は,関数 y =x+ |x -1 | のグラフより下側にあり,かつ y =( x-1 )2 のグラフより上側にある点の集合になっている.ただし, D は境界線を含むものとする.点 ( x,y ) が領域 D 上を動くとき, x+y のとる値の最大値は ③ , 最小値は ④ となる.また, D の面積を求めると, ⑤ となる.
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【2】 次の をうめよ.
- π2≦ θ≦ π2 のとき,関数
f⁡( θ)= sin⁡3⁢ θ+8⁢ sin2⁡ θ+1
の最大値と最小値を求める.
sin⁡ 3⁢θ= sin⁡( 2⁢θ+ θ) =sin⁡ 2⁢θ⁢ cos⁡θ+ cos⁡2⁢ θ⁢sin⁡ sin⁡θ = 2⁢sin⁡ θ⁢cos 2⁡θ +sin⁡θ - ① ⁢ sin3⁡ θ = ② ⁢ sin⁡θ- ③ ⁢ sin3⁡ θ
であるので,
f⁡( θ)= - ③ ⁢ sin3⁡ θ+8⁢ sin2⁡ θ+ ② ⁢ sin⁡θ+ 1
と表される. t=sin⁡ θ とおくと, f⁡( θ) は
- ③ ⁢ t3+ 8⁢t 2+ ② ⁢ t+1
と表される. t のとりうる値の範囲は ④ なので, f⁡( θ) の最大値は ⑤ , 最小値は ⑥ である.
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【3】 1 枚の硬貨を投げ,表が出れば数字 1 を記録し,裏が出れば数字 2 を記録する.この試行を n 回行ったとき,記録した n 個の数字の和が 3 の倍数となる確率を p n とする.次の をうめよ.ただし, ④ と ⑦ 以外は数値でうめること.
(1) n=1 , 2 ,3 の場合に,実際に値を求めると, p1 = ① ,p 2= ② , p3 = ③ である.
(2) n 回の試行を行った段階で,記録した数字の合計が 3 の倍数であるときと, 3 の倍数でないときに分けて,それぞれの場合に n +1 回目の試行を考えることで, pn+ 1 と p n の関係式が得られる. pn+ 1 を p n を用いて表すと, pn+ 1= ④ である.
(3) {p n} を数列と考えると,(2)で得られた pn+1 = ④ はその漸化式となる.これは,
pn +1- ⑤ = ⑥ ⁢ ( pn- ⑤ )
と変形できるので,一般項 p n は ⑦ である.