2013 関西大 後期 理系学部3月4日実施

Mathematics

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2013 関西大学 後期

システム理工・環境都市工・

化学生命工学部

3月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=log ( x2+ 4) を考える.次の   をうめよ.

(1)  f (x ) は区間 [ -2,3 ] において, x= で最大値 をとり, x= で最小値 をとる.

(2) 曲線 y =f( x) の変曲点の座標は ( x,y) = である.

(3) 曲線 y =f( x) x 軸, 2 直線 x =0 x =2 3 とで囲まれる部分の面積を S とする. 02 3 1 x2+ 4 dx = であるから, S=8 3log 2+ 4 3 ( ) である.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上に異なる 2 A 0( a0 ) A 1( a1 ) をとる.次の   をうめよ.

  2 A 0( a0 ) A 1( a1 ) を結ぶ線分 A0 A1 1 :2 に内分する点を A 2( a2 ) とする.次に, 2 A 1( a1 ) A 2( a2 ) を結ぶ線分 A1 A2 1 :2 に内分する点を A 3( a3 ) とする.以下,この操作を繰り返して, A4 ( a4 ) A 5( a5 ) A 6( a6 ) A n( an ) を順次定めていく.このとき, an +2 を, an an+1 を用いて表すと,

an +2 = an+ 1 + an (1)

となる.

  n=2 3 4 に対して,上で定めた an a0 a1 を用いて表したい.そのために, 2 次方程式 x2= x+ を解くと, x=- である.ただし, - < である.この解を用いると,(1)は

an +2 + an+ 1 = ( an+ 1 + an )

と変形できる.よって,

a n + an- 1 = ( a1 + a0 ) (2)

となる.同様に(1)は

an +2 - an+ 1 =- ( an+ 1 - an )

とも変形できるので,

a n - an- 1 = ( a1 - a0 ) (3)

となる.(2),(3)より,

an = a1 + a0

となる.さらに,それぞれの係数の極限を求めると

limn = lim n =

である.

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【3】次の   をうめよ.

  a を正の定数とする.関数 f (x )=x e- ax は, x= のとき,極大値 をとる.曲線 y =f( x) x 軸と直線 x = とで囲まれる部分の面積は である.また,曲線 y =f( x) x 軸, 2 直線 x = x =2× とで囲まれる部分の面積は である.このとき,

- = (e- 1) ( ) a2 e2

だから, の大小関係を,等号( = )または不等号( < > )を用いて表すと,

となる.

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  p q r を互いに異なる素数とし, a b a <b を満たす自然数とする. 2 つの整数 pa+1 q b+1 p qa rb の正の約数の個数が等しくなるのは, (a ,b) = のときである.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  0θ 2π において, sin3 θ+ 3 2 cos 2θ -sinθ =0 を満たす θ の個数を求めると, 個である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3) 行列 A =( 01 1 1) ( 20 01 ) (- 11 10 ) に対して,その n A n ( 2,1 ) 成分は, である.ただし n は自然数である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4)  n 0 以上の整数とし, In= 0π2 sin nx dx とおく.すると, I2 = である.また, In+ 2= In だから, 0π2 sin8 xd x= となる.ただし, n を用いた式でうめよ.