2013　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x$が方程式$\cos 2x-3\sin x+1=0(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の解であるとき，$t=\sin x$とおくと，$t$は$2$次方程式$\boxed{\text{ア}}=0$の解である．したがって，$x=\boxed{\text{イ}}$である．また，$x=\boxed{\text{イ}}$のとき，$\sin (2x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$z=1+2i\text{，}w=1-2i$のとき

$z^2+w^2=\boxed{\text{エ}}\text{，}{\displaystyle \frac{w}{z^2}}+{\displaystyle \frac{z}{w^2}}=\boxed{\text{オ}}$

である．ただし，$i^2=1$とする．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　関数$f(x)$について$f(a)=p\text{，}{f}^{\prime }(a)=q$が成り立つとき，

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\{f(a+h)\}}^2-{\{f(a)\}}^2}{h}}=\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$3$個のサイコロを同時に投げるとき，少なくとも$1$個のサイコロに偶数の目が出る確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$3$個のサイコロの出た目の和が$6$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$3$個のサイコロの出た目の和が$7$以上となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$p$を正の実数とし，

$x^2-(2p+4)x+y^2+2p^{2}y+p^4-p^3+7p^2-5p=0$

で表される円を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C$の中心の軌跡を求めよ．

(2)　円$C$の半径の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$p$の値に対して，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(4,3)$と円$C$上を動く点$\mathrm{B}$の$3$点でできる$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の内部にある点$\mathrm{O}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$を満たし，正の実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u$が

$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=-{\displaystyle \frac{s}{t+u}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とするとき，点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$上にあることを示せ．また，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=-{\displaystyle \frac{t}{s+u}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=-{\displaystyle \frac{u}{s+t}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を，それぞれ満たすとする．このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|$ならば$s=t=u$であることを示せ．

(3)　$s=t=u$であるとし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=r$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$であることを示し，また，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$r$を用いて表せ．

【４】　$f(x)=\sqrt{x}(x-6)\text{（}x\geqq 0\text{）}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，極値とそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$C$の$x>0$の部分の凹凸を調べよ．

(2)　$p>0$とする．曲線$C$上の点$(p,f(p))$における接線と$y$軸との交点の$y$座標を求めよ．

(3)　曲線$C$に点$\mathrm{A}(0,-10)$から引いた接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$と接線$l$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．