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2013-15113-0301
2013 関西学院大学 文系学部全学日程
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) ▵ABC において AB =8 ,AC =7 ,B= 60⁢ ° とする.点 A から辺 BC に下ろした垂線を AH とすると AH = ア , BH= イ , CH= ウ である.また, C>90 ⁢° とすると, BC= エ であり, cos⁡C = オ である.ただし, ア , イ , ウ , エ , オ はすべて数値である.
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(2) 正 10 角形 ABCDEFGHIJ の 10 個の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形の個数は カ 個である. カ 個の三角形のうち,正 10 角形と 1 辺だけ共有する三角形は キ 個ある.また カ 個の三角形のうち,正三角形は ク 個あり,二等辺三角形は ケ 個あるので, 3 辺の長さが相異なる三角形は コ 個ある.
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【2】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) u=cos⁡ x とおいて cos ⁡2⁢x を u の 2 次式で表すと cos ⁡2⁢x = ア である. cos⁡3 ⁢x=cos ⁡(x +2⁢x ) より cos ⁡3⁢x を u の 3 次式で表すと cos ⁡3⁢x = イ である.よって関数
y=cos⁡ 3⁢x- cos⁡2⁢ x+cos⁡ x-1
を u の式で表すと y = ウ である.よって方程式
cos⁡3 ⁢x-cos ⁡2⁢x +cos⁡x -1=0
の 0 ≦x≦π の範囲における解は x =0 , π2 , エ である.また, 0≦x ≦ π2 のとき,不等式
cos⁡3 ⁢x-cos ⁡2⁢x +cos⁡x -1<- 1
を満たす x の値の範囲は オ < x< π3 である.
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(2) n を自然数とする. xy 平面上の 3 つの直線
y=-2 ⁢x+n +2 ,x= 0 ,y= 0
で囲まれてできる三角形を T n とする. Tn の内部または辺上の点 ( s,t ) のうち,座標 s , t がともに自然数であるものの個数を a n で表す.このとき, a1 =1 ,a 2=2 , a3 = カ , a4 = キ , a5 = ク である.また一般に自然数 q に対し, a2 ⁢q= ケ , a2 ⁢q-1 = コ である.ただし カ , キ , ク は数値であり, ケ , コ は q の式である.
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【3】 t を実数とする. xy 平面で y =x2 +(1 -2⁢t )⁢x +t2 で表される放物線を C t とする.次の問いに答えよ.
(1) 直線 y =x は C t の接線であることを示せ.
(2) s を実数とし, s≠t とする. Cs と C t の交点の x 座標を s ,t を用いて表せ.
(3) s を実数とし, s<t とする. Cs , Ct と直線 y =x で囲まれる図形の面積 S を定積分で表せ.
(4) (3)の S を s , t を用いて表せ.