2013　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　周囲の長さが$18$の長方形において，短い方の辺の長さを$x$とする．面積が$16$以上，$20$以下であるとすると，$2$つの不等式

$x^2-9x+16\leqq 0\cdots \text{①}$

$x^2-9x+20\geqq 0\cdots \text{②}$

を得る．不等式$\text{①}$を解くと$\boxed{\text{ア}}\leqq x\leqq \boxed{\text{イ}}$であり，不等式$\text{②}$を解くと$x\leqq \boxed{\text{ウ}}\text{，}5\leqq x$である．$x$が短い方の辺の長さであることより，$x$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{エ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$8$までの番号が$1$つずつかかれた$8$個の玉が袋に入っている．この袋の中から同時に$6$個の玉を取り出す．その中で最大の番号を$X$とすると，$X=5$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また$X=6$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$X=7$となる確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}X=8$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．以上より，$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$x>1$のとき，${\log }_{3}x=t$とおき${\log }_9{x}^2$と${\log }_{x}9$を$t$の式で表すと，${\log }_9{x}^2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\log }_{x}9=\boxed{\text{イ}}$となる．したがって，関数

$y={\log }_{3}x-16{\log }_{x}9+3{\log }_9{x}^2+8\text{（}x>1\text{）}$

を$t$の式で表すと，$y=\boxed{\text{ウ}}$となる．これより$y\leqq 0$となるような$t$の値の範囲は$0<t\leqq \boxed{\text{エ}}$である．よって，$y\leqq 0$となるような$c$の値の範囲は$1<x\leqq \boxed{\text{オ}}$となる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$xyz$空間内の$4$点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,2,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,3,-3)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積の値は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{カ}}$である．点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が直交しているとする．実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すと，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$なので，$s\text{，}$$t$の値は$s=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{ク}}$となる．したがって$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$は$(a,b,c)$の形（$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数）で答えよ．さらに$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の値は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【３】　$2$つの関数$f(x)=x^3-3x^2-9x\text{，}g(x)=-9x^2+27x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は実数とする．

(1)　$x\geqq 0$の範囲で，$f(x)$の増減表をかき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の$x\geqq 0$での最小値を$m\text{，}g(x)$の$x\geqq 0$での最大値を$M$とする．$m\geqq M$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$x\geqq 0$であるすべての$x$に対して$f(x)\geqq g(x)$となるような$k$の値の範囲を求めよ．