2013　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$の距離を$x$とする．このとき${\mathrm{BP}}^2\text{，}{\mathrm{PM}}^2$を$x$を用いて表すと${\mathrm{BP}}^2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\mathrm{PM}}^2=\boxed{\text{イ}}$となる．ここで$l={\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{PM}}^2$とおく．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとき，$l$が最小になるような$x$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，そのときの$l$の値は$\boxed{\text{エ}}$となる．また，このとき$▵\mathrm{ABP}$の面積の値は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$4$までの番号が$1$つずつかかれた$4$個の玉が袋の中に入っている．玉を$1$個取り出し，番号を確認して袋にもどす操作を$2$回繰り返す．確認した$2$つの番号の中で大きい方の番号を$X$とする．ただし，$2$つの番号が等しい場合には$X$はその等しい番号とする．$X=1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，$X=2$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また$X=3$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X=4$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$となる．したがって$X$の期待値は$\boxed{\text{コ}}$となる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　平面上の方程式$x^2+y^2=9$で定まる円を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)$と点$\mathrm{A}(4,0)$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{R}(x,y)$とする．$x\text{，}y$を$a\text{，}b$を用いて表すと，$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$となる．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式は

${(x-\boxed{\text{ウ}})}^2+{(y-\boxed{\text{エ}})}^2=\boxed{\text{オ}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$a\text{，}b$の式であり，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は数値である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すことを考える．$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\boxed{\text{カ}}$となる．また$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\boxed{\text{キ}}$となる．$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=k\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BI}}=l\overrightarrow{\mathrm{BP}}$とする．ただし$k\text{，}$$l$は実数である．等式$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BI}}$に各ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表した式を代入して，$k$の値$k=\boxed{\text{ク}}$を得る．したがって，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表すと$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\boxed{\text{ケ}}$となる．よって，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$のときには$\left|\overrightarrow{\mathrm{OI}}\right|=\boxed{\text{コ}}$となる．

【３】　$a\geqq 0$とする．$xy$平面において，$x=a\text{，}x=a+1\text{，}y=3|x^2-1|+1\text{，}y=0$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$の増減表をかけ．

(3)　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．