2013　関西学院大　理系関学独自入試2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　${\displaystyle \frac{x^3-x^2-4x+4}{x^4-1}}÷{\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}$を計算すると$\boxed{\text{ア}}$となり，${\displaystyle \frac{x^2+2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x^2-3x}{x-2}}$を計算すると$\boxed{\text{イ}}$となる．また，等式$\boxed{\text{イ}}\times {\displaystyle \frac{x}{x-2}}={\displaystyle \frac{a}{x+1}}+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x-2)}^2}}$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）が$x$についての恒等式であるとき，$c=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$が，$\overrightarrow{b}=(3,4)$と垂直であるとき，$a_2=\boxed{\text{エ}}{a}_1$である．さらに，$\overrightarrow{a}$が$a_2>0$を満たす単位ベクトルであるとすると，$a_1=\boxed{\text{オ}}$である．これらのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて，$\overrightarrow{c}=(1,1)$を$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$の形で表すとき，$s=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　関数$y=e^{-3x}\sin x$について，$y^{\prime }=\boxed{\text{キ}}$であり，また，$y^{″}+6y^{\prime }+10y=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^4\log xdx$を計算すると，$\boxed{\text{ケ}}$である．定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(1+x)}^{2013}dx$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2$に点$(p,q)$から$2$本の接線$l\text{，}m$が引けるとする．また，$l\text{，}m$と$C$の接点をそれぞれ $\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2)\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$本の接線が引けるような$p\text{，}q$の満たす条件を求めよ．また，$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$間の距離を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$l$と$m$が垂直であるような$q$の値を求めよ．

(4)　$q$が上の(3)で求めた値より小さいとき，$l$と$m$のなす角$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の正接$\tan \theta$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

【３】　$a_1=2\text{，}{b}_1=1$である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{5}}{a}_n+{\displaystyle \frac{4}{5}}{b}_n\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{5}}{a}_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}{b}_n+5\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_n=2a_n+b_n\text{，}{q}_n=a_n-2b_n$とするとき，$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$b_n$を$n$の式で表せ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{2}^{-b_{2k}}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\log x\text{，}g(x)=\log \sqrt{x}+a\text{（}x>0\text{）}$と曲線$C_1:y=f(x)\text{，}{C}_2:y=g(x)$を考える．ここで，$a$は定数である．また，点$({\displaystyle \frac{e^3}{2}},f\left({\displaystyle \frac{e^3}{2}}\right))$における曲線$C_1$の接線$l$が，点$(b,g(b))$における曲線$C_2$の接線に一致する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{e^3}{2}}\right)$の値と接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　曲線$C_2$は$x=h(y)$の形の方程式で表せる．このとき，$h(y)$の不定積分${\displaystyle \int }h(y)dy$を求めよ．

(4)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点の座標を求めよ．また，この交点の$y$座標を$p$とするとき，直線$y=p\text{，}$直線$y=g(b)\text{，}y$軸，および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．